數學趣談

*美國南方出版社讓中文出版走向世界舞台* 

內容簡介：你聽說過泰勒斯嗎？他在數學上有什麽貢獻？芝諾悖論赫赫有名，而它的來龍去脈你知道嗎？

數學王子高斯生前有個願望，就是要在自己的墓誌銘上刻上正十七邊形，但是這一要求被拒絕了，為什麽？

本書由兩部分組成：數學家的故事和有趣的數學問題。前者基本不需要任何數學基礎，後者需要一定的邏輯推理能力。其中有些章節，如奇妙的無窮大世界和哥德爾不完備性定理，更要求對數學有一定的理解和追求以及較強的邏輯推理能力。

偉大的德國數學家高斯曾經說過：數學是科學的皇後。本書能幫助數學愛好者一窺科學皇後的奇妙境界。

前言

有位朋友讀了手稿，問:你心目中的讀者是誰?

這是一個非常重要的問題。是呀，寫書的目的是傳遞信息。既然是傳遞信息，就必然要考慮接受信息的對象。但說實話，我一開始並沒有認真想過這個問題。

我心目中的讀者是誰?理想中的讀者應具備以下幾個條件:

第一，對數學有一定的興趣。雖然本書的目的就是為了提高讀者對數學的興趣，這是對有興趣了解數學的讀者而言。

第二，對數學證明和簡單邏輯有大致的了解。比如能夠看懂簡單的數學證明和邏輯推理。

第三，最好有一些高等數學的知識，如微積分，初等概率論。

滿足這些條件，就能夠比較輕鬆地閱讀這本書了。本書由兩部分組成:數學家的故事和有趣的數學問題。前者基本不需要任何數學基礎，後者需要一定的邏輯推理能力。其中有些章節，如奇妙的無窮大世界和哥德爾不完備性定理，更要求對數學有一定的理解和追求以及

較強的邏輯推理能力。

偉大的德國數學家高斯曾經說過:數學是科學的皇後。希望本書能幫助數學愛好者一窺科學皇後的奇妙境界。

序

過去，我不認識《數學趣談》的作者盧小雲。我的大學同學楊先生把《數學趣談》書稿寄給我，看後，我被該書深深地吸引了。

後來，我對盧小雲有了大致的了解:他博學多才，既是數學博士，在國際數學期刊已發表二十餘篇論文;又是文學創作者，著有《幸福童年》等作品。他的作品文筆流暢，主題鮮明，善於抓住要點，簡明扼要;但又調侃風趣，常常引人捧腹而笑，有時又令人扼腕歎息。對數學本身，他有深厚的功底(如前所說，已發表二十餘篇論文)。對數學史，他也下了一番功夫，捕捉到了一些不為常人知曉的有關逸聞趣事，並放在《數學趣談》一書中奉獻給讀者。

《數學趣談》分為兩部分，或者說《數學趣談》具有兩個主題。

第一部分(第一個主題)，介紹了一些著名數學家的具有鮮明特點的“點滴”。有別於傳統人物傳記的寫法，作者沒有洋洋灑灑全麵係統地考證人物(那是曆史學家的任務)，而是通過一件事，一則趣聞或是一個問題，采用講“故事”的方式，將每個人物的特點從不同的側麵挖掘出來，然後展現給讀者。雖然在讀者麵前的是一些零零碎碎的“點滴”，但她實則是有骨有肉的生活，是一個個活靈活現的人物。正因為這些晶瑩透亮的點滴，免除了讀者長篇翻讀的累贅就可以輕鬆自然地進入栩栩如生的“意境”。使人讀來是那麽的親切那麽的生動。不是嗎?我想，這就是作者的初衷之一吧。

走進第一部分，看看作者到底講了些什麽:你聽說過泰勒斯嗎?他在數學上有什麽貢獻?

畢達哥拉斯你也許知道，他與勾股定理有密切關係，同時還與有理數有關，這又是咋回事?說到無理數，歐多克索斯可填了一個大坑。

芝諾悖論赫赫有名，而它的來龍去脈你知道嗎?

亞曆山大不是數學家，卻是“分水嶺”，這就奇怪了。

阿基米德，耳熟能詳，他的故事你知道多少?計算過π的近似值的人很多，阿波羅尼烏斯呢?

說到中國古代的數學家，就不得不提到三國時期的趙爽，魏晉時期的劉徽以及南北朝時期的祖衝之了，他們的“八卦”故事同樣精彩。

獨孤九劍劍術，一劍封喉，尼科洛·塔爾塔利亞威名遠揚。

數學家、醫生卡爾達諾還會占星術、算命，結果他亡於自己的算命，悲哉乎!

笛卡爾名聲太盛而死於名聲，不可思議。

費爾馬有很多猜想和定理，其中一個:如果P=4k+1是素數，它就能表示成兩個整數的平方和，並且表示方式是唯一的。證明過程，你能欣賞嗎?

帕斯卡兼數學家、物理學家、化學家、發明家、哲學家、神學家、音樂家、教育家、氣象學家於一身。他的文字優美流暢，還是一個出色的作家。唉，什麽樣的人喲，身占這麽多“位置”，不怕別人失業!

蘋果落下砸出萬有引力定律的牛頓，幾乎人盡能詳，他與萊布尼茨的“微積分”之爭，殺得渾天暗地，結果不分勝負。

伯努利家族是數學史上最偉大的家族，曾經在連續三代當中產生了八位數學家，其中三位聲名遠揚，最為著名的就是伯努利兄弟。

最多產的數學家一歐拉，“他是所有人的老師”(拉普拉斯語)，“巴塞爾問題”和“柯尼斯堡七橋問題”還記得嗎?

數學王子高斯生前有個願望，就是要在自己的墓誌銘上刻上正十七邊形，那是他鍾愛的結果之一。這一要求被拒絕了，因為雕刻的石匠覺得難度太大，擔心刻出的不是正十七邊形，而是一個圓。

“阿貝爾留下的問題足以讓數學家們忙活五百年”的阿貝爾，生前成就沒有得到認可，生活非常貧困，死後兩天才得到教授聘書。

為愛情而決鬥，數學家伽羅瓦也不能幸免，一個數學天才，就這樣絕塵而去。

朱利葉斯·威廉·理查德·戴德金，高斯的關門弟子，名字有點長，還是叫戴德金吧。不過一定要把“戴德金”和“戴德金分割”這兩個名詞區分開來。一個是人，一個嗎，讀者看書慢慢理解吧。

當然，偉大而著名的數學家遠遠不隻上麵提到的這些(缺了柯西?)。這不，書中還介紹了柏林大學的數學家們。但是，你別誤會，以為第一部分就到此結束了。其實，緊隨其後的還有康托爾，他可是集合論的鼻祖，以他作為第一部分的結尾，倒也合理。這就是《數學趣談》的第一部分(第一個主題)一“數學家的故事”。

怎麽樣，故事好聽嗎?

下麵進入《數學趣談》的第二部分(第二個主題)，也就是“有趣的數學問題”。

這個主題，在第一部分包含了一些，但主要還是在第二部分中。因此，下麵就第二部分的“有趣問題”而有趣一下。

這部分內容的“程度”大多數相當於一般“科普”的知識水平，但有些問題卻要深很多，需要一些“高等數學”儲備，並且有點“燒腦”。但讀者隻要耐住性子讀下去，理解這部分內容也應該不成問題。

這些“有趣問題”按其內容大致分為五組。當然，這種分組是相當粗略的，因為許多有趣問題同時包含了好幾種數學思想，簡單地把它們劃入某一組，顯然不合理。但為了敘述方便，隻好如此了。

這五組分別是:1.數學悖論及完備性(二十六，二十七章)2.無窮大問題(二十八，二十九章)3.邏輯推理(三十章)4.中國剩餘定理(三十二章)5.概率統計(三十一，三十三，三十四章)。為了讀者能順利，輕鬆讀完這五組問題，下麵作一些“鋪墊”。

1.數學悖論及完備性

數學中有許多悖論。《數學趣談》一書介紹了著名的幾個，如“說謊者悖論”及其變種“卡片悖論”，“康托爾悖論”，“羅素悖論”，以及在第一部分提到的二分法悖論，阿喀琉斯悖論，飛矢悖論，運動場悖論等等。

什麽是數學悖論?數學悖論就是指數學領域中既有數學規範中發生的無法解決的認識矛盾。這種認識矛盾可以在新的數學規範中得到解決。

至今，數學史上發生過“三次數學危機”，每次數學危機都是由“數學悖論”引起的。看看“數學悖論”多麽“厲害”!

要深刻理解“數學悖論”，一定要結合“哲學”，因為數學中蘊含了許多深刻的哲學思想。數學家Demollins曾說“沒有數學，我們無法看透哲學的深度;沒有哲學，人們也無法看透數學的深度;而沒有兩者，人們什麽也看不透。”

在這些數學悖論中羅素悖論影響最為深遠。

1903年，一個震驚數學界的消息傳出:集合論是有漏洞的。這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產生了危機。

為了應對羅素悖論產生的危機，當時形成了三個有名的數學學派:邏輯學派，直觀主義學派和形式主義學派。德國數學家希爾伯特是形式主義學派的領軍人物。形式主義學派希望能建立一套數學公理體係，使得該體係既完備又“自洽”。

所謂“自洽”，就是無矛盾:係統不可能產生相互矛盾的結果。這是任何數學公理體係的基礎和底線。

何為完備?完備就是要求在該係統中一個命題為真當且僅當該命題能夠在係統中得到證明。

哥德爾不完備性定理給了形式主義學派致命的一擊:任何公理體係，隻要足夠複雜，就不可能既完備又自洽。換句話說，如要保證自洽，就一定存在某些真命題但永遠無法得到證明。

小小數學，玄機多多。

讀者在《數學趣談》一書中還可以了解到:哥德爾命題，形式係統，哥德爾數以及利用這些知識來證明不動點的一個引理，結果是那麽精簡漂亮!

2.無窮大問題

要看懂這部分內容，我們需要一點“集合”的知識。(1)有限集，無限集和子集

若集A的元素隻有有限個，則稱集A為有限集。不含任何元素的集稱為空集。一個非空集如果不是有限集，就稱為無限集。設A和B是兩個集，若A的每個元素同時也是B的元素，則稱A是B的子集。

(2) 一一映射

映射:設A和B是兩個集，A非空集，若依規則f，對於A中的每個元素x，在B中都有唯一確定的元素 y與之對應，則稱f是A到B的映射,記為f:A →B; y 稱為 x 的象,記為f(x);A稱為映射f的定義域;集合{f(x)|x ∈ A} 稱為映射f的值域。滿射:映射f:A→B的值域f(A)= B，則f是滿射。單射:映射f:A→ B使每個y ∈ f (A)僅有唯一的x∈A滿足f (x)=y，則f是單射。一一映射:映射f:A→B既是滿射又是單射，就稱f是A到B的一一映射(一一對應)。

(3)集合的對等

設A和B是兩個集，若存在A到B的某個一一映射，就稱A與B對等。

(4)可列集(可數集)，不可列集

與自然數集N對等的集稱為可列集(可數集)。一個集是可列集當且僅當它的所有元素可排成一個無窮序列。

不是可列集的無限集稱為不可列集(不可數集)。

(5)集合的基數(集合的基數理論是集合論中最重要的內容之一)。

把所有的集合按如下規則劃分成若幹類:對每個集合A，把與A對等的所有集合作為一類，不與A對等的集合不屬於這一類。這樣就得到許多不同的類。任何一個集合必然屬於某一類，並且任何一個集合決不會同時屬於不同的兩類。

這樣分類後，同一類的各集合具有同樣多個元素，而不屬於同一類的兩個集合不具有同樣多個元素。

對每一類集合我們規定一個專用符號(不同的兩類集合規定不同的符號)，我們說這一類中的每一個集合都具有“此符號所表示的那麽多”個元素，稱此符號是這一類集合的基數。基數常用希伯來字母阿列夫加右下角標來表示，如自然數集的基數為Ñ0，讀為阿列夫零，意即自然數集有Ñ0個元素。

作者簡介：盧小雲，出生於江西鷹潭,先後畢業於江西冶金學院，中國科學院應用數學研究所以及美國新澤西州的Rutgers大學,分別獲得數學專業的學士,碩士和博士學位。在國際數學刊物發表學術論文二十餘篇。作者現居住在美國的弗吉尼亞州。

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“圓作者一個夢想，助作者美國出書”是美國南方出版社Dixie W Publishing Corporation,http://www.dwpcbooks.com/）的出版宗旨。美國南方出版社2006年在美國Alabama州注冊成立，多年來為諸多作者出版圖書，銷售不斷攀升，是美國出版界的後起之秀，現正逐漸為各界熟悉。

美國南方出版社所出版的圖書通過自己的網站，美國最大連鎖書店巴諾書店（Barnes& Noble），以及亞馬遜（Amazon）等網上和實體書店在全球範圍內發行。美國國會及各大地方圖書館均有收藏，美國南方出版社成功地把很多作者推向了更大更紛繁的世界舞台。