皮皮蝦
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得數學者得天下(中)
其故
[本文作者是畢業於加州大學伯克利的博士。鑒於文章較長，現將此文
4. 數學派生出的交叉學科
很多介紹數學的作用的文章, 會介紹數學的應用領域: 物理、化學、生命科學、工程、大數據、人工智能、機器人等等。但非專業的讀者一般隻能膚淺地理解。
我們可以從另一個角度說明數學的作用。近一百多年來, 數學的應用產生出很多新的交叉學科, 它們原屬於數學,但後來獨立出去。這樣的大學科有十幾個: 統計學、管理科學、計算機科學、係統科學、非線性科學、邏輯學、經濟學、機器證明、博弈論、編碼與密碼學等等。
我們下麵做一點簡單的介紹。
1) 邏輯學
邏輯學原來屬於文科, 那時並沒有嚴格的科學方法。直到大約一百年前, 數學的方法進入了邏輯學領域, 此後從根本上改變了邏輯學的麵貌 (參看 [3])。
起先是“命題演算”的產生, 由此可用數學方法做“零級邏輯”推理。例如現在常見的“推理練習”題都可以轉換成數學運算, 而且可以機械化(即用電腦計算解決)。由此還產生了“布爾代數”。
後來進入更深一級的“謂詞演算”, 實際上一般的數學命題都含有“謂詞” (“存在”或“一切”), 如加法交換律的準確陳述是“對任意兩個數 a, b 都有 "a + b = b + a", 平麵幾何中的第一條結合公理的準確陳述是“對任意兩個點存在一條直線同時經過它們”。 命題演算和謂詞演算形一個新學科“數理邏輯”。
在今天, 數理邏輯已經成為一個範圍很廣且內容深刻的學科, 影響到很多其他領域如純粹數學、計算機科學等, 它本質上是研究邏輯的科學方法。由此, 今天不懂數理邏輯的人是沒有資格研究邏輯學的。
2) 統計學
統計學原來也屬於文科, 那時並沒有嚴格的科學方法, 所用到的數學很初等。直到1930年代概率論奠定基礎後, 產生了“數理統計”這個新學科, 從此統計有了科學的研究方法, 從根本上改變了統計學的麵貌。
從今天的眼光看來, 統計的基本任務是“大數據處理”。由於大數據難以避免“模糊性”, 所以概率論是不可或缺的基本工具。但今天統計學中所需要的數學工具遠不止概率論。
在今天, 統計學的研究者若沒有很好的數學素質, 是不可能在高端的統計學雜誌發表文章的。
統計學的廣泛應用使其成為一個很發達的學科。在很多高水平的大學裏, 統計係不僅獨立, 而且比數學係大。
3) 運籌學
運籌學可以看作應用數學的一個方麵。在很多應用數學問題中有特定的“目標”, 例如速度、質量、成本、效率等, 希望對此目標做得盡可能好。在數學中這稱為“優化”, 它經常可以表達為一個函數的最大值問題。
運籌學廣泛應用於工程、經濟、城市規劃、金融、軍事等很多領域, 是一個很發達的學科。在今天, 很多高水平的大學裏有運籌學係(如加州大學的 IEOR), 比數學係大得多。
4) 信息科學
“信息”是一個物理對象, 但並沒有進入古典的物理學。信息科學的建立起源於香農在1940年代對通訊的研究。
通訊會遇到噪聲幹擾, 香農尋求一個可以刻畫“混亂程度”的物理量, 他發現所得到的公式竟與熱力學中“熵”的公式一致, 就把它也稱作“熵”。多年後經過很多人的研究, 終於明白“信息熵”與熱力學熵的一致性。由此可見,香農的“熵”揭示了一個深刻的物理奧秘, 有極重要的哲學意義。
信息科學也是從數學中派生出來的, 公認1948年香農發表的論文“通信的數學理論”是信息論的奠基之作。在今天的“信息社會”中, 信息科學所起的作用無疑是巨大的。現代信息科學是一個獨立學科, 但其數學性很強。
5) 控製論
與“信息”相似, “控製”也是一個物理對象, 但並沒有進入古典的物理學。
一般認為1948年維納發表的《控製論——關於在動物和機器中控製和通訊的科學》一書是控製論的奠基之作。維納將控製論看作是一門研究機器、生命社會中控製和通訊的一般規律的科學，是研究動態係統在變的環境條件下如何保持平衡狀態或穩定狀態的科學。這也是有極重要的哲學意義的。
控製論也是從數學中派生出來的。在今天, 控製論的思想和方法已經滲透到幾乎所有的自然科學和社會科學領域。
泛言之, 運籌學、信息科學、控製論等都可以歸入“係統科學”這個大類。
6) 編碼與密碼學
在通訊中常要將字母轉換為數字信號, 這就是“編碼”。編碼的方法多而廣, 例如為了通訊保密故意改編原文(即“加密”), 但要使接收者能夠再改編回原文 (即“解密”)。這方麵的發展形成了“密碼學”。
編碼的作用遠不止於保密。另一個重要作用是“糾錯”。在通訊中難免出現信號傳輸錯誤, 采用適當的編碼可以減少錯誤, 或在發生錯誤時自動糾正。在計算機和網絡中大量使用編碼。
最早的編碼可能是由“聰明人”拍腦袋想出來的, 但編碼的深度發展離不開數學。常用的數學工具有代數、數論、組合學等,但不排除使用其他數學方法。
7) 計算機科學
計算機最早的任務目標是將數學計算機械化, 其可能性是建築在早期的數理邏輯基礎之上。由於這個背景, 數理邏輯是今天計算機專業的學生都要學習的基礎課。
計算機發明出來以後, 在使用中遇到很多新問題, 如計算機係統結構分析、計算機可靠性論證等, 遂形成專門研究這些問題的一個新學科, 即“計算機科學”。
當今的計算機科學是數學、電子科學、信息科學等學科和技術科學的交叉。不過早年的計算機科學是由一些數學家奠定基礎的。我國計算機科學的創始人全是數學家。
計算機科學所用到的數學遠不止數理邏輯, 數學物理的很多工具都要用到, 此外還有“離散數學”、代數、拓撲等。
8) 數理經濟學
與統計學相似, 早年經濟學所用到的數學很初等, 但19世紀有一些經濟學家使用了較深的數學, 後來他們的工作被稱為“數理經濟學”。不過現代的數理經濟學主要是1960年代以後的工作, 這些工作所用到的數學相當深。
在今天, 經濟學的研究者若沒有很好的數學素質, 是不可能在高端的經濟學雜誌發表文章的。
9) 博弈論
博弈論始於1920年代策墨羅, 波萊爾, 馮·諾依曼等數學家研究對抗性的遊戲, 而對策不僅存在於遊戲中, 也存在於生物行為、經濟、軍事、政治、社會關係、外交等領域, 所以後來有了廣泛的應用。
有多位博弈論專家獲得諾貝爾經濟學獎。
10) 數學機械化
數學機械化起源於機器證明問題, 即能否用計算機來證明一個數學定理。1976年計算機被用來證明圖論中的四色定理。不能期待用計算機證明一般的數學定理, 但可期望對某個數學領域有一個一般的方法, 可以證明限定範圍的所有定理。
1970年代, 吳文俊給出了歐幾裏德幾何中一般的標準類型定理的機器證明方法, 這可以理解為一大類數學定理可用計算機證明。後來實現的計算機程序, 可通過人機對話將問題輸入, 計算機可自動尋找有關所輸入的幾何圖形的所有定理, 並給出每個定理的證明(證明一般較為冗長但人可讀, 參看 [10])。具體的實現過程使用符號計算。
數學機械化可使數學證明的工作大為減輕,不需要傷腦筋的工作即可解決。它可以看作一種人工智能。上述機器證明不僅比AlphaGo早得多, 也強得多(AlphaGo隻能大概率地保證給出解決方案, 而上述機器證明能絕對保證給出解決方案)。
迄今為止在其他多個領域也有數學機械化的研究, 但尚未在其他領域得到如歐幾裏德幾何領域那樣完善的結果。
11) 管理科學
管理原屬社會經驗領域, 並無基本的科學的方法。自1920年代後數學家嚐試用係統科學的方法研究管理, 逐漸產生了管理科學。
我國的管理科學的開創者都是數學家。
12) 非線性科學
“線性”是數學中的一種具有廣泛應用的性質,例如在通訊中需要將信號放大而不改變信號的結構, 這就是“線性放大”。但另一方麵, 通訊中的載波、檢波等要改變信號的結構, 這是需要通過非線性的方法才能達到的。
“非線性”現象在物理學、天文學、地球科學、生命科學等很多學科和公共工程、電子技術等很多應用領域普遍存在,所涉及的問題相距甚遠, 但在數學上有共性。由此形成一個專門研究非線性的交叉學科。
13) 金融數學
信貸、股票、期貨、保險等金融課題的研究離不開數學, 而且深入的研究需要相當多的數學工具如微積分、概率論、組合學、微分方程等等。甚至還用到一些高深的數學工具, 例如山東大學彭實戈教授因對“倒向隨機微分方程”的研究成果而受邀在國際數學家大會上做一小時報告, 就是因為這項成果可以應用於金融。
在1950年代後, 數學在金融研究中的日益重要作用形成了金融數學。當今不懂金融數學的人很難在高水平的金融雜誌發表論文。
14) 精算學
精算學是針對金融領域的應用技術科學。
銀行業、保險業、證券業等對社會提供各種服務“產品”, 需要服從一係列法規和其他規則, 而提供服務就要使客戶盈利, 但同時自身也要獲利, 這就涉及合理定價、避險等很多問題(例如分期付款的房貸應如何確定月供, 怎樣安全地分散投資等等)。
對每個具體問題都需要專門建立數學模型來解決, 這樣就形成了大量的數學模型和方法。一個“精算師”需要在微積分、概率統計等方麵達標, 並掌握很多重要的數學模型。
除了上述學科外, 數學還在不斷滲透到其他領域, 如生命科學、醫學、軍事、認知科學等等。今天人們已經認識到, 沒有什麽學科是數學不能進入的, 而數學的進入意味著新科學的形成。由此可見“數學是研究數量關係和空間形式的科學”之類觀點實在太狹隘了。
5. 社會發展對於提高公民數學素質的需求
現代社會中的很多工作需要數學, 但大多數不是數學家做, 而是由非數學專業但具有合格數學素質的人做。因此, 公民的數學素質是綜合國力的一個重要因素。很多科學發達的國家對公民的數學素質都很重視(參看 [9], [14], [18])。
那麽, 怎樣的數學素質才算合格呢? 那要看工作領域。舉例說, 一個農村青年到城裏打工做家裝, 開始時是在工頭的指揮下工作並學習技術, 用不到很多或較深的數學。但如果他有合格的小學數學素質, 不久就會看到經常有需要用到數學的工作, 例如計算牆麵和地麵麵積, 進一步計算需要多少材料, 估計費用等等, 自己也可以做, 這樣就可以自覺地提高工作能力,從而成為骨幹工人。如果他的中學數學素質也合格, 那就還可以做需要更深的數學的工作, 如測量、管道與電路布線、施工設計與繪圖等等, 數學素質更好的甚至可以設法節省材料, 為客戶節約經費, 那麽他就可以自己成立一個包工隊, 而且得到客戶的信任。這樣的案例很常見。
多年前曹策問教授給小學生講的``乾隆數塔''的故事, 也是數學素質的一個精彩案例。少林寺塔林大大小小的塔非常多, 很難數清, 乾隆皇帝想了一個巧妙的方法,就是讓他的禦林軍士兵每人抱住一個塔, 等所有塔都被抱住後, 再將所有抱塔的士兵集合起來點人數, 這樣很容易就數出了塔的個數。
就數學原理而言, 乾隆數塔用的是“一一對應”, 簡言之兩個能一一對應的有限集具有相同的元素個數。由於直接數塔很困難, 而數士兵卻很容易, 這樣就把一個難題轉化為一個容易的問題了。
一一對應的原理, 好的小學生也能弄懂, 但很多高中生都還沒弄懂。
那麽, 對於更深的數學是否也有數學素質的需求呢? 較高的技術工作一般都需要大學以上是數學素質達標, 對於這些工作有所了解的人都不難看到。即使沒學過較深數學的人, 從下麵這個例子也能體會到數學素質的重要作用。
城市裏的地鐵一般是雙線, 一個站台有兩個不同方向的同一線路地鐵, 但有例外。在下圖中可以看到北京地鐵的4號線和9號線, 它們在國家圖書館站交匯, 4號線由北向東南, 9 號線由國家圖書館站始發向南。在國家圖書館換乘站,4號線向北方向的車與9號線的終點站在同一個站台, 而4號線向東南方向的車與9號線的起點站在同一個站台。
為什麽要采取這樣不同常例的設計呢?
乘9號線到終點換乘的乘客, 大多數是轉乘4號線向北, 因為若要轉乘4號線向東南, 多半是繞遠路, 不如直接從南方過去; 而乘4號線到國家圖書館站轉乘的乘客, 多半來自北方, 因為來自東南方向的乘客可以在南方換乘。這樣的設計, 使得大部分換乘乘客不必換站台, 給這些乘客多了方便, 但並沒有給其他乘客增加不便; 另一方麵,由於減少了乘客換站台, 降低了站內乘客流量, 提高了效率、可靠性和安全性。
如果設計者采用通常的安排(即4號線兩個方向在同一站台, 9號線起點和終點在同一站台), 也不能說不合格。但上麵這樣的設計顯然“更好”。這樣的想法看上去很簡單, 但沒有很好的數學素質是想不到的。在數學上這稱為“優化”,這是運籌學的一個核心概念。
這些案例都說明好的數學素質對於工作水平和質量的積極意義。遺憾的是, 經常看到數學素質不合格的情形。下麵舉幾個網上看到的例子。
1) 2009年, 上海《新聞晚報》的一則報道說, 市區高速公路將更換5000塊路牌, 總共耗費2億元人民幣。該消息使網上輿論大嘩, 因為用2億除以5000計算出一塊路牌要40000元,被稱為“天價路牌”。有人更進一步追問其中的貓膩。
《新聞晚報》後來刊登了文章進行了解釋：這5000塊指路牌隻是一小部分，其實隻占有所有更換量的五分之一。也就是總體要更換25000塊各種路牌。所以，用 2億除以5000來計算出40000一塊路牌“太過於草率”。 然而這非但沒有解決“天價”的問題(因為一塊路牌8000元仍是太貴), 反而又多出新的問題。有的網民經過計算得出: 這麽多路牌相當於在高速路上開車平均每秒鍾遇到一塊路牌, 這當然就更荒唐了。
此事後來是不了了之, 但可以作為數學素質差的一個典型案例。
2) 2009年, 某著名大學校長在接受采訪時表示，素質要全麵考量，一個所謂的高考狀元的素質不一定比一個農村的孩子素質更高。 “不能一談到素質就是說唱歌好跳舞好，農村的孩子在比較弱勢的群體中成長起來，他們更會知道尊重別人，會更能吃苦。”
很快就有網民指出: 校長說話也犯邏輯錯誤。狀元也可能是農村的孩子呀？(其實農村學生成為“高考狀元”並不鮮見, 在有些地方甚至很常見。)
3) 2011年初, 河南平頂山市法院以“詐騙368萬元高速公路通行費”的罪名判處時建鋒無期徒刑，剝奪政治權利終身，並處罰金200萬元。此案經相關媒體報道後, 網上輿論嘩然, 稱之為“天價過路費案”。 據報道時建鋒“騙免368萬元”的時間總共不過8個月, 每天一般隻能運送一趟。如果過路費真的如此高, 那實在太黑了。
此案後來被河南省高級法院發回重審, 並對責任法官作出了處理。
4) 某國總統上任伊始, 要創造一些“政績”。第一把火燒交通, 說高速公路兩個方向各有兩條道, 如果改劃為三條道,不用花一分錢就可以將運力提高50%,下麵一陣吹捧, 於是乎就實行了。結果可想而知, 交通事故大增, 於是又燒了
第二把火, 將兩邊都改回兩條道。有趣的是, 這又被吹捧成偉大的政績, 理由是: 兩條道改劃為三條道提高運力50% , 三條道改劃為兩條道降低運力不到34% , 兩者相抵, 50% -34% =16% , 就是說至少淨增運力16% , 一分錢沒花。
5) 特朗普不久前談到將在朝鮮半島陣亡的美軍士兵遺骸運回國一事, 說: 在競選期間, 有成千上萬的人要求我們這樣做, 他們告訴我, 希望自己的兒子能被接回國。美國網民哄起來了: 朝鮮戰爭是在1950年代初, 即使那時一個士兵二十歲, 他父母現在也有一百多歲了。
隻要留心, 這類數學笑話每天都可以在網上看到很多。
由此可見, 數學素質並不隻是對於專業人員的要求, 對於普通公民都是需要的。
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