皮皮蝦
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得數學者得天下(上)
其故
[本文作者是畢業於加州大學伯克利的博士。鑒於文章較長，現將此文
1. 對於數學的普遍偏見
當今的教育使得一般人都學過一些數學, 而且學習的時間相當長 (參看[4]), 這使得很多人認為自己懂得數學,甚至妄談數學。但一般人所學的最新的也才是二百多年前的數學,往往對於近二百年來的數學一無所知, 所以難免對於數學有誤解甚至偏見 (參看例如[5])。
妄談數學的人並非完全不懂數學, 如果完全不懂倒不至於妄談了。問題在於近一百多年來數學有了巨大和根本的發展,一方麵有了更深刻的理念, 另一方麵其應用領域極大地擴展了。如果對此完全不了解, 那麽對於數學的看法難免過於狹隘, 簡直可以說是管窺蠡測了。
教科書中“數學是研究數量關係和空間形式的科學” (參看[1]) 這個教條, 也是導致很多人對於數學有偏見的一個原因。這個說法始於恩格斯, 後來列入前蘇聯的教科書中, 繼而進入我國的教科書。恩格斯是唯物主義者, 他反對將數學看作純粹意識的觀點, 認為數學所研究的是客觀世界, 而受時代的局限他還不了解群論 (即使高斯也難以接受),所以從哲學上這對於恩格斯是最好的理解了。但現代人應該知道, 數學的領域非常寬闊, 沒有邊界, 是不能由研究對象來界定的。即使俄國人也早已摒棄了這個教條。
多年前在數學界的一個會議上有專家呼籲, 在數學界的報告 (如發展規劃) 中不要再寫“數學是研究數量關係和空間形式的科學”這樣的話, 因為它不僅過時, 錯誤, 而且對於數學的發展不利。這個建議得到與會者的一致讚同。但在數學界不能主導的領域, 這個教條仍在起著誤導作用, 使得很多人對於數學的了解局限於一個很狹窄的範圍, 更不會主動地將數學應用於以往不曾屬於數學的領域。
如[5]中所看到的, 很多網民認為數學基礎就是初等數學+高等數學+算法+奧數, “數學對很多人來說是枯燥的、深奧的、抽象的”, 甚至是乏味的、無用的、無聊的。這是教育壟斷造成的嚴重後果。
陳省身先生說過: “數學是一切科學的基礎, 數學的訓練普遍的有用”。但對於數學有嚴重偏見的人是不可能理解這兩句話的。
這些偏見來自多方麵的原因, 其中一個重要原因是教育方麵的失誤。而糾正偏見對於數學教育是一個不能回避的任務。
2. 對於數學的偏見的背景
如上所說, 很多人對於數學的嚴重偏見, 是由不當的數學教育造成的。
數學教育有其特有的規律 (參看 [4]), 不僅學習時間長, 應用廣泛, 而且需要激勵興趣, 培養科學的嚴謹性,因材施教, 以及提升科學理念。
數學教育領域有一個共識, 就是一個現代人學習數學的曆程大體上沿著數學發展史的曆程, 類似於一個胎兒成長的過程大體上沿著生物進化的曆程。胎兒的發育過程大體要經過從單細胞生物到人類的進化過程, 要經過類似原生動物、腔腸動物、脊索動物、靈長類等各個階段, 最後才長成人類的樣子。而學習數學的過程, 要先走過有數萬年曆史的識數過程, 再學習古典 (有數千年曆史的) 代數和幾何, 再學習更近代的內容, 直到費爾馬和笛卡兒建立的解析幾何, 爾後可以學習微積分及更近代的數學。識數的時間相當長, 可能在數學的學習中占大半, 這和數學史上人類識數的時間長是一致的。
因此, 判斷一般人 (尤其是中學生) 的數學水平的基本標準是曆史的, 即看他懂的是哪個時代的數學。
如今的數學文獻浩如煙海, 很多人容易有一個錯覺, 就是數學的發展就是數學研究成果的積累。那麽, 成果越積越多, 遲早會使得任何人都不能全麵把握, 甚至隻能懂得其中很狹窄的一部分。其實不然, 成果的積累是華羅庚先生所說的“由薄到厚”的過程, 但他還說過有一個“由厚到薄”的過程, 這恐怕不是很多人都明白的。
對於數學, 很多人崇拜技巧高的人, 甚至看不起技巧不高的人。很多人以為數學是聰明人的遊戲。其實數學的發展方向, 是老的數學越來越成熟, 越成熟就越簡單, 越容易, 越接近普通人。這個過程, 主要是通過理念的提升來實現的。
舉例說, 中學平麵幾何中有很多習題是很難的, 即使很好的學生也未必都能做出來。這樣的習題對於鍛煉學生探索和解決問題的能力是有好處的, 但很多習題難在對解題方法的苛刻限製, 即隻能使用平麵幾何教程中講授過的方法。如果學了解析幾何, 對其中很多習題就可以建立坐標係通過計算來解決, 不需要什麽技巧, 難度也大為降低, 普通學生都能做出。即使對於很好的學生, 像上麵那樣做平麵幾何難題也應適可而止, 有精力和興趣可早些進入解析幾何, 那麽以前學的很多方法和技巧即使忘掉也沒有關係, 不需要全都記住而成為沉重的負擔。這就是“由厚到薄”的過程。
再舉個例子: 球的體積怎樣算? 在高中教科書中是用祖暅原理計算的。祖暅原理本身就不很容易懂,而利用祖暅原理計算球的體積, 需要相當高的技巧, 實際上大多數高中生沒學明白。更大的問題是, 如果換一個計算體積的問題, 還得再尋求新的方法, 無法保證一定能算出來。但是, 如果學了微積分就會算很多麵積體積, 其中球的體積隻是一個很容易的問題。這樣, 學了微積分就可以“忘掉”很多計算麵積、體積的初等方法和技巧, 這也是“由厚到薄”的過程。
不幸的是, 很多中學教師所教的, 很多中學生所學的, 是在“初等”的層次上反複練習, 掌握“題型”和技巧等(都屬於“由薄到厚”的範圍), 然而這樣的學生無論“題型”掌握了多少, 技巧有多高, 比起一個學好了微積分的學生還是差一個檔次。簡言之, 前者的數學水平還在牛頓的時代之前, 後者已進入近三百多年。很少見到教師教學生如何“由厚到薄”。
由此可見, 很多中學生, 尤其是聰明學生, 將大部分時間和精力耗費在學習初等“題型”和技巧上, 是很大的浪費, 有那功夫數分、高代等更高的台階都能上去了。不僅如此, 還常見他們很困惑, 問諸如“數學有什麽用”之類的問題, 因為他們做的很多習題, 學的很多“題型”和技巧, 並無應用背景 (除了考試以外)。反之, 例如學了微積分就會算很多麵積體積, 自然就不會問“數學有什麽用”了。
理念的提升, 遠比技巧的提高重要。以解析幾何為例, 如果一個學生經過學習深刻領會了代數與幾何的內在聯係, 那麽在多年後即使忘記了教科書的大部分細節, 遇到問題仍能主動地將代數與幾何問題相互轉化,其創新能力絕不是僅掌握了很多技巧 (即使不忘) 的人所能比的。
還有一個對於數學的誤解源於“高等數學”這個詞, 其實它隻是高等學校非數學專業的基礎數學課程的名稱(這個名稱當然不恰當, 國外都不用, 但國內沿用了多年很難改), 並非“高深”, 更不是“最高”。其內容為大約三百年前的數學, 主要是牛頓 (1643-1727) 時代的數學, 最高的也不超過歐拉 (1707-1783) 時代。某些非數學專業的學生還需要學習更深一些的數學, 例如電工專業的學生要學習拉普拉斯變換、傅裏葉變換等二百年前的數學。
說到這裏可能有些讀者望而生畏: 需要學的數學這麽多而且越來越難, 怕是這輩子沒法學好了。其實不然, 即使是一個小學生也可能有很好是數學素質, 而中學生中有很多可以達到相當高的數學素質。數學學科雖多, 但“其理則一”, 都是研究來自自然界的問題, 在這一點上與其他科學並無不同, 所不同之處是其絕對真理性 (參看 [8])。一個人的數學素質的標誌不是數學知識的多少, 而是數學理念的高度。下麵我們會對此詳細解釋。
3. 數學中的“台階”
現代數學的範圍非常廣, 國際數學家大會有19個分會場, 就是說即使粗分也有19個大方向。要想全麵了解這些方向當然很不容易。雖然數學有很多分支, 但“其理則一”, 每個分支隻是在某一個方麵特別深入, 但絕不是孤立的, 不應將數學看作一些互不相關的分支或課題。如果對數學的某一個方向有了深入了解, 形成很好的數學理念, 那麽就有利於理解其他方向。
數學的發展不僅是內容的豐富, 而且有理念的提升。每個重要的新理念會促進數學的整體發展, 影響到很多數學分支甚至數學以外的學科。在基礎數學方麵, 這樣的新理念有: 約 400 年前的解析幾何, 300 多年前的微積分, 200 多年前的線性代數, 180 年前的群論, 120 年前的拓撲學、數理邏輯、李群, 80 年前的整體微分幾何、概率論,此後更多, 有複幾何、模空間、動力係統、算術代數幾何、幾何分析等等。
由此, 學習數學不應僅僅是知識的積累, 還應逐步提高哲學理念, 如一個一個地上台階。
解析幾何、微積分、線性代數都是近代數學的“台階”, 近二百年來這樣的台階更多, 下麵選幾個做簡單介紹。
1) 群論
“群”是 1820 年代伽羅瓦在研究代數方程的一個困難問題時發現的。群論在解決這個難題時的作用充分顯示出它的強大, 逐漸引起數學界的普遍關注。由此開創了數學的一個全新領域,其曆史意義是無論如何估計也不會過分的。
由今天的眼光看來, 群的根本背景是物理的運動。在群論產生之前, 盡管運動是數學不能回避的一個課題, 但還沒有一個係統的和強大的工具。群論的產生不僅使數學有了新的發展方向, 而且有了新的理念, 從而使群論滲透到數學的其他領域, 改變了整個數學的麵貌。一個典型的例子是克萊因的“愛爾蘭根綱領”, 將變換群看作幾何的核心課題; 另一個典型例子是索弗斯·李將群論應用於微分方程的研究, 產生了李群論。同時, 群論也進入了數學之外的領域, 成為物理、化學等學科的重要工具和核心課題。
由此可見, 不懂群論的人對於數學的理解, 與現代數學實在相距太遠, 所以難免偏頗。
順便說一點題外話。現在中學數學教程中的“集合”概念, 原本是由於群論的需要而產生的, 因為群既不能解釋為“數量關係”也不能解釋為“空間形式”, 隻能解釋為“集合”。但群是無法回避的, 因為它在數學中處於核心地位。由此集合論也就發展起來 (實際上到20世紀才成熟), 進而成為整個數學的一種方便的語言。
在中學數學教程中是否應該講“集合”, 其實是很值得懷疑的。其一, 引入集合的語言不過是為了講課方便,但可能是老師方便了學生苦了 (因為“集合”比方程、直線等更抽象, 因而對於很多學生更費解); 其二,集合概念對於學習中學數學的各課題都不是必需的 (早年的中學數學教程中都沒有集合, 但同樣可以講得很好,而且並不影響學生的數學素質); 其三, 如果沒有實質性的應用, 花了很多時間學習“集合”卻不能得到什麽實際的好處, 是很大的浪費 (學生質疑“有什麽用”的一個主要對象就是集合); 其四, 在中學課程中不可能係統地講清集合論的基本概念, 至多隻是“樸素直觀”而已, 但這樣的直觀是不嚴謹的 (在這方麵, 數學界也隻是在羅素發現“集合論悖論”後才明白)。
2) 拓撲學
拓撲學是1900年前後以龐加萊為首的法國學派建立的, 研究連續變形下的空間整體結構。下麵一個例子可以解釋整體性和局部性的區別。
球麵和環麵 (圖 1) 的局部結構是一樣的, 如果在球麵或環麵上取一小塊 (如圖 1中的小圓片), 它們的結構都等價於平麵上的一小塊; 但球麵和環麵的整體結構是截然不同的, 如果將球麵想象為橡皮的, 可以隨意拉伸變形, 甚至還可以剪開翻個身再按原縫粘回去, 那麽不管怎樣做這樣的``拓撲變換'', 也還是不能把球麵變成環麵。用拓撲學的術語說,就是球麵與環麵不``同胚''。由此可見, 即使完全了解了局部結構, 仍然可能對整體結構毫無所知。
圖 1
20世紀的數學與此前的數學相比, 最顯著的特點就是整體性。粗糙地說, 20 世紀前的數學都是"局部的”數學, 即使涉及整體的研究對象 (如射影空間), 也是采用局部的研究方法。研究整體性的根本方法是從拓撲學的建立開始的。而關於整體結構的研究, 是在此前關於局部結構的研究已經相當成熟的基礎上產生的。
拓撲學給出數學的一個新的深刻理念, 這個理念和各種方法逐漸滲透到數學的其他領域, 改變了整個數學的麵貌, 並且影響到數學之外的學科如物理、化學等。
不懂拓撲學的人, 對現代數學也難免有誤解和偏見。
3) 整體幾何
空間不僅有拓撲結構, 而且還有其他結構如微分結構。如上所說, 早期微分幾何是“局部”的微分幾何,但關於整體的問題是有的, 隻是沒有係統的方法和工具。在1930年代拓撲學已有了堅實的基礎, 進一步將其他結構加入應該提到研究日程中來。在解決具體問題中, 陳省身做了這一開創性的工作, 從此產生了“整體微分幾何”。
此後, 整體微分幾何的理念和方法滲透到數學的其他領域如多複變函數論、代數幾何、數論等, 改變了整個數學的麵貌, 並且影響到數學之外的學科如物理等。
4) 幾何分析
在1970年代, 丘成桐在解決卡拉比猜想中采用了硬分析(微分方程的深刻方法和結果), 這一新的有力方法可用於解決很多其他難題, 從而產生了一個新的學科“幾何分析”, 這是現代數學中最富有活力且發展最快的領域之一, 且影響到數學之外的學科如物理等。
由上麵這些例子不難看出, 每一個“台階”都有新的哲學理念。因此, 在學習數學時每上一個台階, 數學水平都會有本質的提高, 是沒有上這個台階的人所無法相比的。不僅如此, 每個台階一旦上去, 終生都不會下來了。
上一個台階很難嗎? 其實未必, 因為每個台階都是始於一個原始的理念, 既不深奧也不複雜, 更沒有上麵所說的“技巧”。 很多人上不去倒是因為心理障礙造成的, 具體地說, 如果對於數學已經有了成見, 那麽遇到一個新的理念與成見衝突時, 就可能從心理上拒絕接受。
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