公共知識，公眾呐喊與社會變化: 從紅藍眼睛村說起

群友轉來一段視頻，“你真的看懂《皇帝的新裝》了嗎？"【1】。視頻要講解的是共有知識和公共知識的概念。老康對智力遊戲頗感興趣。下了一個月的功夫，終於鬧明白了玄機。

一、紅藍眼睛村的故事

此智力遊戲最早是澳大利亞的華裔數學神童陶哲軒在網上貼出來讓大家思考【2】，逗大家玩兒的【3】，後來衍生出很多版本和創新【1】【3】【5】。這裏基本是【1】的版本，配以老康的敘事方式和想象。

某村有100位村民，5位紅眼睛的，95位藍眼睛的。村裏有個古傳的嚴格規矩，不許村民知道自己眼睛的顏色，也不許討論眼睛這個話題。當然，每位村民可以看到其他99位村民眼睛的顏色。村裏沒鏡子，沒有反光的水麵；總之，村民沒法發現自己眼睛的顏色！體製如此！

一旦某個村民確定了自己眼睛的顏色，他必須當晚午夜自殺，這叫殉規矩！

當然，村民都同你一樣聰明透頂，同樣誠實、講邏輯、講信譽。

為敘述簡練，以下“紅的”、“藍的”分別指“紅眼睛的村民”和“藍眼睛的村民”；人物都是男性。 有一天，一位紅眼睛的外村人來訪；告別酒會上他說：很高興在村裏見到和我眼睛一樣顏色的村民！說完他立馬後悔了。他知道村裏的規矩是不能討論眼睛的話題。但隨後一想，又釋然了：他們村裏有5位紅的，人人能看到有紅的；我沒有提供任何新的知識啊！

這個智力遊戲的迷惑之處就在這裏：如果外村人說的是廢話一句，為什麽第五天晚上會有五位紅的村民同時在午夜殉規矩了呢？ 是的，村裏有5位紅的95位藍的；每位紅的隻能看到4位紅的95位藍的，但不知道或不確定自己眼睛的顏色。同理，每位藍的能看到5位紅的，94位藍的，也不知道自己眼睛的顏色。

村裏平靜，沒人殉規矩，因為沒人知道自己的眼睛的顏色。外村人的話沒有提供任何新知識，但卻是個發令槍，發令槍一響，村民開始思考、期盼、懷疑、推理、Action！於是，悲劇開始了。

什麽道理呢？

先來假設村裏就一位紅的，紅一。

紅一推理：我能看到的99位都是藍。我一直不知道我的眼睛的顏色。外村人說外鄉人說“村裏有紅”，我自己肯定就是那個紅。我怎麽這麽倒黴啊。於是當天午夜紅一殉了規矩。

結論：村裏一紅，第一天午夜一紅殉規矩。

再來假設村裏隻有兩位紅眼睛的：紅一和紅二。

紅一思考：外鄉人說村裏有紅的，這不廢話嗎？我能看得到啊，紅二啊！他一直沒去殉規矩是因為他不知道自己是紅的。外鄉人說了村裏有紅的，按上麵的推論，“村裏一紅，第一天午夜一紅殉規矩”。紅一期盼紅二當晚殉規矩。

紅二思考：外鄉人說村裏有紅的，這不廢話嗎？我能看得到啊，紅一啊！他一直沒去殉規矩是因為他不知道自己是紅的。外鄉人說了村裏有紅的，按上麵的推論，“村裏一紅，第一天午夜一紅殉規矩”。紅二期盼紅一當晚殉規矩。

第二天早晨，還是100位村民：沒人殉規矩！

紅一納悶啊，除了紅二不守規矩，還有什麽可能呢？上麵的推論，“村裏一紅，第一天午夜一紅殉規矩”。這個邏輯反過來：第一天午夜一紅沒殉規矩去，那村裏就不是一紅！ A 導致 B, 非B 導致 非A，簡單邏輯。我已經看到紅二紅了，我也能看到98位藍。村裏不是一紅，那唯一的可能是兩紅，而我一定是那第二紅。唉，我怎麽這麽倒黴啊！

紅二也納悶啊，除了紅一不守規矩，還有什麽可能呢？上麵的推論，“村裏一紅，第一天午夜一紅殉規矩”。這個邏輯反過來：第一天午夜一紅沒殉規矩去，那村裏就不是一紅！ A 導致 B, 非B 導致 非A，簡單邏輯。我已經看到紅一紅了，我也能看到98位藍。村裏不是一紅，那唯一的可能是兩紅，而我一定是那第二紅。唉，我怎麽這麽倒黴啊！

於是，Action：第二天午夜，紅一、紅二同時殉規矩去了。

再來假設村裏有三位紅的，紅一、紅二，和紅三。

紅三思考：外鄉人說村裏有紅的，這不廢話嗎？我能看得到啊，紅一和紅二啊！他哥倆一直沒去殉規矩，是因為他倆不知道或不確定自己是紅的。外鄉人說了村裏有紅的，按上麵的推理，如果村裏兩紅，那他哥倆會在第二天午夜同時去殉規矩。

紅一和紅二也有同樣的思考。紅一期待紅二紅三第二天午夜殉規矩；紅二期待紅一紅三第二天午夜殉規矩。

第三天早晨起來，還是100位村民：沒人殉規矩！

紅三奇怪了，除了紅一和紅二不守規矩外，還會有什麽可能呢？ 上麵的推論：如果村裏兩紅，第二天午夜兩紅必殉規矩去。這個邏輯反過來：第二天午夜兩紅沒殉規矩去，那村裏就不是兩紅！ A 導致 B, 非B 導致 非A，簡單邏輯。 我能看到紅一紅二兩紅，我也能看到97藍。那村裏隻能是三紅了，那第三紅肯定是我沒跑啊！咳，真是倒黴啊！

紅一和紅二有同樣的推理。都確定了自己眼睛的顏色。於是第三天午夜，哥仨同殉規矩去了。

以此類推，村裏有五位紅眼睛的，他們會在第五天午夜同時殉規矩！

也許這樣說更容易明白這個邏輯：

外村人說“村裏有紅”，帶來了連鎖反應！
第１天沒１人殉規矩，說明村裏有2＋紅。（兩紅或多於兩紅）
第２天沒２人殉規矩，說明村裏有3＋紅。
第３天沒３人殉規矩，說明村裏有4＋紅。
第４天沒４人殉規矩，說明村裏有5＋紅。
第５天有５人殉規矩，說明村裏就5位紅。
就這麽簡單！

二、數學歸納法

大家都還記得中學學的數學歸納法吧？證明一個公式，起始步驟：證明對某個基數B成立！歸納步驟：假設公式對N>=B成立，證明對N+1也成立。

村裏N個紅眼睛的在第N天午夜同時殉規距。N是村裏紅眼村民數，N>=2。

剛才證明了起始步驟，倆紅眼，N=2。假設這個公式對N成立，來看N+1的情況。

第N+1位紅眼能看到N位紅眼。他期待第N天午夜N位紅眼同時殉規距。但第N+1天早晨見沒人殉規距，他推論村裏一定有N+1位紅眼而自己必是那第N+1位紅眼，於是第N+1天殉規距去了。

所有的N+1位紅眼每位都有同樣的思考和推論，所以第N+1天午夜N+1位紅眼同時殉規距去了。

證畢！

三、共有知識和公共知識

這個悖論常被用來解釋公共知識【1】【4】。

前麵說“外鄉人沒有提供任何新的知識” 並不很準確。知識的認知有其層次【4】。也許應該說“外鄉人提供了深層次的知識”。

還是以紅藍眼睛村為例。 再次假設村裏隻有兩位紅的：紅一和紅二。

紅一能看到紅二紅，紅二也能看到紅一紅。98位藍的能看到他們倆都是紅的。

所以村裏人人知道“村裏有紅”。

“村裏有紅”是個共享知識，或者說是“一級知識” 【4】。

紅一思考：我知道“村裏有紅”甚至能看到紅二是紅的。但我不知道或不能確定紅二知道“村裏有紅”。紅二看不到他自己的顏色；我也不知自己的顏色，我不知道紅二看到的我是紅還是藍。

紅二思考：我知道“村裏有紅”甚至能看到紅一是紅的。但我不知道或不能確定紅一知道“村裏有紅”。紅一看不到他自己的顏色；我也不知自己的顏色，我不知道紅一看到的我是紅還是藍。

這時外鄉人發話了：“村裏有紅！”

紅一接著思考：啊哈！這會兒我知道紅二知道“村裏有紅”了！他能看到其他98藍。他要看到我是藍，那他就知道他自己是紅；當晚午夜他就殉規矩去了；他也可能看到我是紅，但我自已並不確定我是紅，我不必今晚殉規矩！明天再說吧！

紅二接著思考：啊哈！這會兒我知道紅一知道“村裏有紅”了！他能看到其他98藍。他要看到我是藍，那他就知道他自己是紅；當晚午夜他就殉規矩去了；他也可能看到我是紅，但我自已並不確定我是紅，我不必今晚殉規矩！明天再說吧！

外鄉人的話提升了知識的層次，一級到二級。

一級知識：人人都知道“村裏有紅”，但不是人人都知道人人都知道“村裏有紅”。

二級知識：人人都知道人人都知道“村裏有紅”。

第二天早晨起來，還是100位村民：沒人殉規矩！紅一紅二都認了栽，知道了自己是紅的，第二天午夜殉了規矩。

再假設村裏隻有三位紅：紅一，紅二，和紅三。 每個紅能看到另外兩個紅。所以：

一級知識：人人都知道“村裏有紅”。

紅一知道紅二知道村裏有紅的，因為紅二能看到紅三是紅的。 紅一知道紅三知道村裏有紅的，因為紅三能看到紅二是紅的。

每個紅的能看到另外兩個紅的，其中任何一個紅得能看到第三個紅的。所以：

二級知識：人人都知道人人都知道“村裏有紅”。

紅一知道紅二不知道或不確定紅三知道“村裏有紅”。

紅一知道紅三不知道或不確定紅二知道“村裏有紅”。

人人都知道不是人人都知道人人都知道“村裏有紅”。

這時外鄉人發話了：“村裏有紅！”。

紅一知道紅二知道紅三知道“村裏有紅”。

紅一知道紅三知道紅二知道“村裏有紅”。

紅二，紅三有有同樣的推理，所以：

三級知識：人人都知道人人都知道人人都知道“村裏有紅”。

紅一期望紅二和紅三第二天午夜殉規矩。但第三天他們倆都活著，於是紅一認了栽知道自己是紅的，第三天午夜紅一殉了規矩。

紅二，紅三有有同樣的推理，他們也在第三天午夜殉了規矩。

歸納起來，村裏有N個紅眼睛時，村民們已有N-1級的共有知識，外村人的話把最深一層的“不是人人都知道人人都知道轉換成“人人都知道人人都知道。或者說把最深一層的共有知識轉換成了N級的公共知識。

注：看官說了，不對啊，你說 ：紅一知道紅二不知道或不確定紅三知道‘村裏有紅’”，可紅三能看到紅一和紅二，當然知道村裏有紅了！

上麵隻列出了兩條推理鏈，是紅一打頭的兩條推理鏈。還有紅二打頭兩條推理鏈和紅三打頭兩條推理鏈。一共六條推理鏈，每條鏈的長度為三。

你說的“紅三 能看到紅一和紅二”在紅三打頭兩條推理鏈上。每條推理鏈有類似歸納和遞歸的作用。

N=99 就有99！=99*98*97*...*2.*1條長度為99的推理鏈 。這些推理鏈是並行的有限互獨立的。

N=3時就有3！=3*2*1=6條推理鏈，每條長度為3。

老康相信，外鄉人的話提供了新信息，信息通過這些推理鏈傳播給每位紅眼睛的村民，同時又瞬時。

共有知識（Mutual Knowledge）和公共知識（Common Knowledge）屬於邏輯學和博弈學的範疇，老康一無所知！

四、公眾呐喊與社會變化

紅藍眼睛村是個假設的封閉社會。外鄉人的“呐喊”似乎並沒有提供新的知識（“村裏有紅”），但卻使這個封閉開社會開始發生變化。

你完全可以設計出不同的遊戲規則和規矩建立一個不同的社會模型：比如一旦村裏人完成了某項任務就提幹了，入黨了，升學了，移民了，發財了等等。

社會、社團、組織要發展，來自內部的推動力當然很重要。但對一個僵化的組織或社會，外界的呐喊有時也起關鍵作用，隻要內部的人聽得見，即使你認為你的呐喊隻是在重複人人都已經知道的知識。

老康的興趣隻在這段智力遊戲上。章法和社會構建的事情還是留給社會學家吧！

五、《我不是藥神》

多年來人人都知道病人“買不起藥”的問題；政府也知道人人知道“買不起藥”的問題；人人知道政府也知道“買不起藥”的問題。“買不起藥”是個共有知識。

 

 

 

電影《我不是藥神》這個外鄉人橫空出世了。可以說電影充滿了“負能量”：指責政府、社會、藥廠、醫院，還把救人的天使繩之以法。

但電影上演後沒幾天政府就出台了一係列措施解決“買不起藥”的問題，病人受益。“負能量”變成了“正能量”。

為什麽？

當政府知道了全體人民都知道了政府早就知道了這個“買不起藥”問題後還是無動於衷保持沉默，那它還是人民政府嗎？

《我不是藥神》的豐功偉績就在於它幫助完成了把“買不起藥”這個共有知識轉變成共公知識進而觸發了政府的“殉規矩”！

聽到政府宣布采取措施解決“買不起藥”問題時，我的第一反應是政府能讓民眾推著走也好。人民也希望過好日子，這與那片兒“不忘（的）初心” 是一致的。

期望影視界的朋友多拍些關心人民群生活推動政府多為人民多謀福利的優秀影視劇。老康叩謝！

【思考題】

1：“一旦某個村民確定了自己的顏色當晚午夜必須殉規矩”。那些藍眼睛的村民的命運如何？

2：原題假定所有村民都同樣聰明絕頂、守規矩、講邏輯。萬一有個村民不夠聰明或不守規矩或不講邏輯呢？（看官不可引申到世貿村去！）

【PS】紅藍眼睛村的故事也告訴我們：不守規則、不講邏輯、甚至裝逼往往能得到更好的結果。至於是否對其他村民公平、村子是否還能保持平衡，WHO CARES！

【參考】 【1】 李永樂：你真的看懂《皇帝的新裝》 了嗎？ https://nhacchobe.net/video/b7NZfkqFc6k/2018.html

【2】陶哲軒（Terry Tao) ：The blue-eyed Islanders Puzzle https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/

【3】知乎論壇：一個關於數學歸納法的悖論問題  https://www.zhihu.com/question/21262930/

【4】MediaWiki: Common knowledge https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge_(logic)

【5】Scott Alexander: IT WAS YOU WHO MADE MY BLUE EYES BLUEHTTP://SLATESTARCODEX.COM/2015/10/15/IT-WAS-YOU-WHO-MADE-MY-BLUE-EYES-BLUE/

【鳴謝】多謝轉來視頻的群友，使我接觸到了新知識。也感謝和我討論的群友，使我學習消化了這些新知識！群友的“發令槍”一說醍醐灌頂，使我豁然開朗！

【抵賴】 老康一貫現學現賣、急用先學。繆誤之處敬請指正！老康這廂有禮了！

2018年9月1日波士頓

作者投稿