那年她十歲，上小學五年級。校長推薦她去上Milton Academy 的“周六學校”（Saturday School）。她選了《狂熱的數學》（Extreme Math） 這門課。第一堂的課後作業問：斐波納契（Fibonacci）數列的第一百項是個奇數（單數）還是個偶數（雙數）？
您可能沒聽說過斐波納契數列，但肯定聽說過優選法、0.618法、黃金分割率等。這法那率的雖然名稱不同，卻都源於這個斐波納契數列。說來也簡單，您用不著高深的數學知識，小學的四則運算再加上點兒耐心就足夠讓您懂得斐波納契數列的基本概念：
一種單性繁殖的兔子，出生兩個月開始生育；以後每個月生一隻子兔子。世界的第一個月隻有一隻兔子，姑且叫她兔娃；第二個月還是隻有一隻兔子，因為兔娃還不 能生育。第三個月兔娃生下了長女，世界上有了兩隻兔子。第四個月兔娃生下了次女，但長女還沒有生育能力，所以世界上隻有三隻兔子。第五個月，兔娃繼續生 子，長女也為兔娃生下長孫，這世界上有了五隻兔子。如此繼續下去，每個月這個世界上兔子的數目組成了一個數 列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，等。不難看出，從第三項起，每項都是前兩項之和。
這不難理解；因為這種兔子永生不死，上個月的兔子都會活到這個月，而上上個月活在世上的每一隻兔子都會在這個月生下一隻小兔子，因為她們都至少活過了兩個月，都有了生育能力。所以這個月兔子的數目總是前兩個月的兔子數目之和，也即老兔子的數目和新生兔子的數目之和。
這個數列有許多有趣的數字規律，如從第三項開始每隔兩項必是二的倍數，從第四項開始每隔三項必是三的倍數，從第五項開始每隔四項必是五的倍數，等等。最具 有和諧之美的地方是，越往後，數列前後相鄰兩項的比值會無限趨向於黃金分割率0.6180339887……，令人稱奇的是這個比值的倒數，也即後項和前項 相鄰兩項的比值無限趨向於1.6180339887……。如此完美的和諧令人讚歎數學之美、自然之美！我家裝修房子時所有的長方形結構或圖案的長寬比都要 求盡量符合這個比值。
《狂熱的數學》的課後作業給出了斐波納契數列的前二十五項，實際上是期望學生能通過觀察能看出斐波納契數列的一個規律：奇數 奇數 偶數 奇數 奇數 偶數 奇數 奇數 偶數 …… （如表所示）,運用這個規律推出斐波納契數列的第一百項是個奇數。
那天女兒瞪著斐波納契數列的前二十五項苦思冥想。等我下班回來，女兒興高采烈地迎上來：“我做出來了！我做出來了！第一百個斐波納契數是個奇數！我做出來了！”
我趕緊看她的作業，問她：“你是怎樣算出第一百個斐波納契數是個奇數的？”
她指著她畫的表格給我看，說：“100的整除因子是1，2，4, 5，10，20，25和50。而數列的第1，2，4，5，10，20，25項都是奇數，數列的第 50項太大了，我算不出來，但我想它也是奇數，奇數與奇數相乘還得奇數，所以數列的第一百項是奇數。”她得意地向我解釋道。
我當時對斐波納契數列的了解也隻限於“本項是前兩項之和”這個基本定義和 “奇奇偶”這個規律。“奇奇偶”永遠重複下去，周期是三。九十九是三的整倍數，第三項是偶數，那麽第九十九項也是偶數，則第一百項必定是奇數。這大概就是老師所期望的正宗解法。
於是我對她說：“很好，你的結論是對的！可你用的方法可能…大概…不那麽…”。
我還沒想出妥善的詞句，既不掃她的興、又能解釋清楚我認為的正確解題方法。她急了：“Daddy，我都驗證過了！從一到二十五，我都驗證過了！我肯定是對的！”
我不以為然，但看她堅決的樣子，隻好和她一起再驗證一遍。越驗證我越發激動——女兒果真是對的！莫非女兒有了重大發現？
以後幾天我都沉浸在極度興奮當中，四處請教女兒這一新發現的正確性。我向《狂熱的數學》的任課老師請教，答曰：“從未聽說過！”我的連襟當時在讀博士，他的導師對我女兒的發現大為欣賞，一連幾個星期無心指導他的博士生，險些誤了我的那個連襟的論文答辯。
我靜下心來，把女兒的發現用數學語言描述出來，然後試著證明其正確性。幾經嚐試，我得出結論，除數字三以外，任何一個整數，如果它的所有因子的斐波納契數 都是奇數，那麽這個整數的斐波納契數也是奇數。反之亦然，任何一個整數，如果它的斐波納契數是奇數，則這個整數所有因子的斐波納契數都必定是奇數。
我很自信我的證明正確無誤，但我還是無法確定這是個新發現還是個已知結果。看來隻有請教權威了。我寫信給美國數學學會《斐波納契數列》季刊，介紹女兒的發 現過程並附上我的證明。幾個星期後，我們居然收到了該刊主編的回信。信中說，女兒的發現可以作為一個已知定理的引理。信中還誇獎我女兒小小的年紀就能發掘 出數列中數字和其因子的關係是很了不起的，值得表彰。並建議把女兒的事跡寫成文章並附上我的證明投寄給《數學教師》（Mathematics Teacher），一份麵向中學數學老師的期刊。信中還附帶一些關於斐波納契數列的文章，鼓勵女兒繼續在這方麵開拓、發展。
這是七年前的事了，現在想起來讓我感慨不已。一是感慨我女兒那時候能有心坐下來考慮問題，有一股不達目的誓不罷休的韌勁；而現在的她生活節奏太快：功課、 電腦、遊戲、聊天室、朋友，一天到晚忙得不亦樂乎；隨著萬維網的快速發展，幾乎對所有的問題，網上都能找到答案；“苦思冥想”的日子是一去不複返了！二是 慶幸我當時沒有武斷地否定了她的發現，而是下了些功夫肯定了她的正確，我從中也得到很多樂趣，還長了不少學問。但這段小小的插曲對她的一生會有多大影響 呢？
大學申請隻考慮學生高中四年的成就，這一“壯舉”因女兒那時歲數太小而忽略不計，令我大失所望。
兩千零九年四月於美國麻省牛頓市，版權歸作者所有。
刊登在 2010 華夏快遞 kd100125.
