明捷數學隨談（3）：張益唐一鳴驚人

《明捷數學隨談（3）：張益唐一鳴驚人》

By 明捷

【八．孿生素數猜想和張益唐】

2013年的一天，海外各華語媒體突然爆出一個新聞，一個叫張益唐的人解決了一個古老的數論難題：孿生素數猜想。論文發表在美國最權威的數學期刊上。張益唐是何方神聖？即使是數學屆人士也很少有人聽到過這個名字。仔細讀一下報道，人們發現這裏麵有一個曲折的人生故事。

孿生素數猜想是什麽時候，由什麽人提出的，都不清楚。但其曆史比同樣著名的哥德巴赫猜想要久遠的多。除了1以外，自然數按整除性可分為兩類，其中一類數可以被更小一些的數整除，如4可以被2整除，6可以被2和3整除，等等。這一類數被稱為合數。另一類數除了自身和1以外，不能被任何其它數整除，稱為素數（也稱質數），如2，3，5，7等是素數。顯然，合數可以表示為若幹素數的乘積，如6=2×3，9=3×3，等等。偶數中除了2以外，其它都是合數。而奇數則有可能是素數，也有可能是合數。早在公元前，古希臘的數學家就對素數產生了很大的興趣。他們發現，隨著數字的增大，素數變得越來越稀薄。比如100到200之間的素數比1到100之間的少，而1000到1100之間的素數要少得更多。會不會數字增大到某個值後，素數就消失了呢？如果是這樣，自然界的素數是有限的，為稀缺數。公元前300年，著名的希臘數學家歐幾裏得用反證法，簡潔而漂亮地證明了素數有無限多個。

（500以內的素數）

歐幾裏得首先假定隻有n個素數，設為A₁，A₂，…，A_n。將這n個素數乘起來，再加上1，得到A=(A₁×A₂×....×A_n)+1, 顯然，這個A比A₁，A₂，…A_n都要大，根據假設，它隻能是合數。但另一方麵，A顯然是個素數，因為它不能被任何一個素數整除。這就說明一開始假設素數為有限個是不對的，因此素數的個數是無限的。

很早的時候，人們就發現，有些素數是成對出現的，每對素數的差為2。例如（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）等等。於是人們很自然地想到，像這樣相差為2的素數對會不會有無窮多個呢？這就是所謂的孿生素數猜想。和驗算哥德巴赫猜想一樣，可以一直驗算下去，找到很多個這樣的素數對，但不能找到無窮多個。因此，這不能算做證明。這其實是所有數論難題中的症結所在，即如何從有限過渡到無窮。歐幾裏得用反證法輕而易舉地解決了素數個數無窮多的命題。然而很多與素數相關的命題卻不能這麽幸運地得到到證明，必須用到高等數學分析的工具，將離散問題轉換為連續問題，從有限過渡到無窮。

張益唐在美國《數學年刊》上發表的文章，證明了存在無窮多個素數對，每對數的間距是有限的，他給出的這個有限的間距為7000萬。也許你會說，孿生素數猜想不是說每個素數對間距為2嗎？這個7000萬相差十萬八千裏，怎麽能說解決了這個問題呢？據行家說，張取得的進展是決定性的，剩下的工作是體力活，將7000萬縮減到2隻是時間問題。打個比方，你要去探訪某座城中的一戶人家，這座城的城門在很長時間內都是緊閉的，沒人能打開。現在你用一個方法把城門打開了，進了城，離那戶人家還有段距離，但走過這段距離是早晚的事。張的文章發表不久，天才數學家陶哲軒很快就將素數對的間距從7000萬縮小到1000以內。

張益唐證明孿生素數猜想時，已經58歲了，他當時是新罕布什爾大學的一個講師。在美國，大學講師的職位是臨時的，隻負責教課，沒有科研任務。在這之前二十多年，張隻在專業期刊上發表過一篇文章，數學界大多數人都沒有聽說過他的名字。這是怎麽回事呢？後來紐約時報刊登了一篇文章，報道了張益唐的故事。其它媒體也作了跟蹤報道。有人形容這是一個謙卑的人生故事（a humble life story）。

張益唐出生於1955年。1978年，他考入北京大學數學係。和很多77，78級大學生一樣，張當時不是高中應屆畢業生，上大學前他在北京當過幾年工人。張在大學期間學習成績一直名列前茅，後來他跟從潘承彪教授讀研究生，專業方向是數論。1985年，張益唐赴美，到普渡大學跟從代數學專家莫宗堅教授讀博士。代數學不是他的興趣所在，但張仍然選擇研究該領域一個著名的世界難題：雅可比猜想。幾年後，張發表論文稱他解決了雅可比猜想，但隨後被人發現是錯的，這個錯誤追溯到他所引用的莫宗堅的一篇論文，那篇論文被發現是錯的。這本來也正常，此前很多證明雅可比猜想的論文都被發現是錯的。但莫宗堅對此很惱火，這事導致張在博士畢業後找工作時得不到莫的推薦信。

在美國，博士畢業若想在學術圈找工作，一定需要導師的推薦信。得不到莫的推薦，張到學術界發展的路被堵死了。那段時間正趕上前蘇聯解體，大批數學家和理論物理學家到美國求發展，有的進了學術界，有的到華爾街搞金融分析。一時間僧多粥少，一職難求。這意味著張益唐的職業生涯還沒有開始就結束了。他曾考慮過回國，但因故未能成行。接下來的若幹年裏，張益唐輾轉各州，靠在餐館，旅店打工謀生。在打工生涯的同時，張在工餘時間開始了對孿生素數猜想的研究。由於他博士期間的專業方向不是數論，他得花很多時間補習一些必要的數論知識，了解該領域的最新發展。另外，他對西方古典音樂和文學有著濃厚的興趣，這些在他落魄的日子裏，支撐著他的生活。

張的一些同學和朋友時不時地會給他幫助。一個朋友見他一直未成家，就決定給他介紹一個對象。有一天請他到紐約的一家中餐館進餐。酒至半酣，一位女服務員走近前來，朋友問他覺得這位女士如何，他說了幾句好話。幾天後，朋友再次請他吃飯，那位女士也在座，後來就成了他的太太。張在北大的一個師弟後來到新罕布什爾大學數學係做了教授，在這個師弟的引薦下，張謀得了新罕布什爾大學的一個講師職位，從此有更多的時間從事他的研究。在張致力於孿生素數猜想的那些年期間，美國的一些數論專家曾開過一個研討會，討論孿生素數猜想，結果認為，目前解決該猜想的條件還不具備，建議學術界暫緩對該猜想的研究。張益唐沒有資格參加這個會議，對會議決定一無所知，這對他其實是件好事，可以埋頭繼續他的研究。

2012年的聖誕節期間，張益唐到一個朋友家裏做客，聽說時常有鹿會光顧這家人的後院。一天下午，他獨自一人到後院，希望能碰到鹿，同時他仍然想著問題。突然一個想法閃現，他知道問題有望解決了。隨後他把這個想法寫了下來，完成了一篇論文，寄到權威的《數學年刊》。通常在這個雜誌上發表論文需要等兩年的時間，但張的論文一個多月後就發表出來了。此後，張益唐要他太太留意一下這段時間的中文媒體。一段時間後，張益唐的名字遍布了海外各大中文媒體。這時他太太對他說，你現在出名了，以後把頭發梳整齊點。

在一篇張益唐訪談中看到下麵這段對話：

“數學家需要什麽天分嗎？”

“專注”，“而且，永遠不要放棄你的個性”。張益唐說：“也許你麵對的東西非常複雜，需要很長時間，但你應能依據直覺挑出重要的部分。”

“你覺得你聰明嗎”？

“可能有一點吧。”他回答道。

2013年在台灣接受數學家季理真采訪時，張益唐曾這樣強調：“勤能補拙。我根本不覺得我這個人有多聰明，但我有足夠的勤奮，這是我能說的忠告。”

哈代在他的書裏說：“一個數學家可能到60歲時還能勝任，但不要期望他會有原創性想法。”

“這句話可能不適用於我。”張益唐說，“我覺得我仍然富有直覺，我仍然對自己有信心，我仍然還有其他的期許。”“我還有兩三個問題要解決，”他說，“素數的有界距離很成功，但我還有別的問題要幹。”

“和素數分布同樣重要嗎？”

“是的，同樣重要。”

（照片來自於網絡，感謝）