地球上從北極到南極打個洞，扔一塊石頭進去引發的思考

石頭在到達地心之前的向心運動是加速運動，到達地心速度最大。然後減速做離心運行駛向地球的另一端。

 

假設孔大於石頭的最大尺寸而沒有接觸摩擦。視有無空氣阻力而產生兩種結果。

 

如果沒有或不考慮空氣阻力，這塊石頭會在南北極之間以正弦方式做往複運動永不停止。每次向心運動時是加速運動，以最大速度穿越地心後，以減速運動做離心運動而奔向地球的另一端。以此類推，循環往複而不休。

 

如果有空氣阻力，每次離心運動的最大行程都會小於其前次的最大行程。經過若幹次這樣的往複運動後而停止在地心。

 

這裏假設地心不是鐵水，石頭不會融化。

 

在某一時刻，設石頭距地心距離為 r （r< = R, R 地球半徑），假設地球密度均勻（理想假設）

則地球對石頭的萬有引力隻來源於rR 物質對石頭的萬有引力等於零）。

這部分質量 Mr = C* r^3 (C為與r無關的常數）。來自地球對石頭的萬有引力 Fr =G (m*Mr)/r^2=G*m*C*r^3/r^2 = G*m*C*r  = K*r  (K=G*C*m, m 石頭的質量）.

 

如果將 有向坐標 z 的原點 置於地心，正方向指向石頭初始位置，則 Fz = -K*z 。 這和彈簧力一致。

 

在不考慮空氣阻力情況下，石頭的運動方程為（牛頓第二定律）：

 

m * d^2z/dt^2 +K * z = 0

設初速度為零，dz/dt =0; z0 = R, 解此方程得：

 

z = R*cos (omega t)    其中 omega =sqrt(m/K)=sqrt(g/R), g: 重力加速度；omega=0.00124 rad/sec ，其行程公式為：

 z=6356.9 cos(0.00124 t) 公裏  （t: 秒）

周期 T= 2*pi/omega = 1小時24分20秒

由於cos(omega t) 最大最小值為 1 與 -1， z 在+R與-R之間交變，每約1小時24分20秒往返一次。     

（試計算一下如果將該石頭從地麵向上扔，恰好該石頭經過84.34分鍾返回地麵，按自由落體假設其到達的最大高度是多少？在這種情況下，自由落體假設成立嗎？）