集合的除法運算

學習了KDE235大師對f(x)存在性的證明過程，其中提到等價關係與等價類的概念。明了這兩個概念及其基本性質是明了其證明的前提條件。下麵簡述一下我對這兩個概念通俗與淺顯的理解。

 

在初等算數中有除法，例如，我們要把80個蘋果裝到袋子裏，每袋裝8個蘋果，問可裝多少袋子。類似於此，我們在日常生活中經常要對某些事物按該事務的某種特性進行分類，比如按性別對人或動物的分類，按品種或顏色對花卉或植物的分類。這種分類和算數中的除法有類似之處，都是將一個整體做某種分拆。但在數學中，具體說集合論中，對這種分類有著更嚴格與明確的定義。

這種嚴格的定義基於“等價關係”上。在一個給定的集合中，各種元素之間如果有某種關係（這種關係可以是自然存在的，也可以是定義出來的），如果這種關係是等價關係，就是說這種關係要同時滿足如下三種性質：

1。具有自身反射性：就是每個元素必須自身對自身要符合這種關係。

2。具有對稱性：即如果a 與 b 具有這種關係，那麽 b 和 a 同樣具有這種關係

3。具有傳遞性：即如果a 與 b , b 與 c 具有這種關係，那麽 a 與 c 同樣具有這種關係。

例如，如果把汽車按顏色來分類，那麽這種分類就是一個等價關係。另一個例子是把整數按餘數來分類，例如選某個給定的非零整數 k 做除數，把所有的整數按所得的餘數來分成k個不同的類別，也是一種等價關係。

相反地，如果把正方形沿對角線剪開這種操作，所得的結果就不是一個等價關係，因為剪開之後，所得的三角形和正方形不同類，失去了反射性。 此外，大於（或小於）的關係，也不是等價關係，因為這種關係不具有對稱性。

 

當一個集合中兩個元素具有等價關係的時候，在記法上為a ~ b, 讀為 a 等價於 b, 或a, b 等價。當然，要把這種等價關係用某種方式表示出來。

 

把一個集合按等價關係進行分類之後，每個具體的類別組成一個等價類，是原來集合的一個子集。例如，汽車按顏色分類後，所有的紅車組成紅車類，藍車組成藍車類等。如果用5作為除數，所有的整數按餘數可分為0，1，2，3，4 的餘數類。在一個等價類之內，所有的元素是彼此等價的，因此，在記法上，選取任一個元素作為這個等價類的代表，用一個中括號來標識這個等價類。例如，【3】={k; k= 3 (mod 5)} 就是除5餘3的等價類，當然，你也可以用【8】來表示同樣的等價類。

 

等價類的一個重要性質是，基於一個等價關係來對集合進行分類，所得的等價類是彼此獨立的，而且集合中的每個元素能且隻能屬於一個等價類。這是一種很科學的分類方法，經此方法的分類之後的結果清晰明了，不會有模糊的地方。

 

用上麵的方法分類之後，在數學上就是對這個集合進行了除法運算。記為S/~.  其中~是一個給定的等價關係。