有趣的概率問題 四

四  也是卡片問題

 

1

 

口袋裏有三張大小和質地都一樣的卡片，其中一張兩麵皆黑，另外兩張都是一麵白一麵黑。

 

問題1: 隨機抽取一張卡片，並隨機選取一麵平放在桌麵上，發現是黑的，請問另一麵也是黑色的概率是多少？

 

問題2: 隨機抽取一張卡片，並有意挑出黑色的一麵平放在桌麵上，問另一麵也是黑色的概率又是多少？

 

2

 

問題1的解答：隨機抽取一張卡片並隨機選出一麵是黑色的概率是2/3，隨機抽取一張卡片兩麵都是黑色的概率是1/3。由條件概率公式，另一麵也是黑色的概率是(1/3)/(2/3)=1/2。

 

問題2的解答：隨機抽取一張卡片並選出黑色一麵的概率是1，隨機抽取一張卡片兩麵都是黑色的概率是1/3。由條件概率公式，另一麵也是黑色的概率是(1/3)/1=1/3。

 

3

 

兩個問題顯得平淡無奇，換一種方式表達，也許就有趣多了。不防把這個變種稱為硬幣問題。

 

有三個外表一模一樣的盒子，其中一個盒子裏麵有兩枚銀幣，另兩個盒子都是一金一銀兩個硬幣。你隨意選取一個盒子，裏麵的硬幣是你的獎品。

 

問題1: 我隨機打開一個剩下的盒子，並隨機抽取一個硬幣，發現是枚銀幣，你想不想拿你選中的盒子與該盒子交換？

 

問題2: 我隨機打開一個剩下的盒子，並故意拿出一枚銀幣，你想不想拿你選中的盒子與該盒子交換？

 

請問，在哪種情形下你應該交換，哪種情形交換沒有任何好處？

 

 

4

 

有沒有覺得這個卡片問題和Monty Hall 問題驚人的相似？其實這兩個問題是等價的。

 

為什麽說這兩個問題等價呢？不妨假設幸運觀眾甲選中的是一號門。讓二號門對應卡片的一麵，三號門對應卡片的另一麵，黑麵對應驢，白麵對應跑車。這樣就建立了兩個問題的對應關係。甲挑中了跑車對應卡片兩麵皆黑，甲挑中了驢則分別對應另外兩種卡片的情形。這樣，問題2就相當於主持人有意打開一扇有驢的門，然後問甲願不願交換。

 

 

5

 

從硬幣問題的描述，更容易看出它和Monty Hall問題的相似性。因為每個盒子裏都有銀幣，所以金幣才是重中之重。由前麵卡片問題2的解答中可知，金幣在已打開的盒子裏的概率是2/3，自然是該換無疑。

 

6

 

再換一個方式提出問題。

 

同樣還是三個外表一模一樣的盒子，其中一個盒子裏麵有兩枚銀幣，另兩個盒子都是一金一銀兩枚硬幣。你可以隨機抽取一個硬幣作為自己的獎品。自然，你得先選定一個盒子，然後從中隨機選取一枚硬幣。在你剛選盒子，還沒有選取硬幣之前，我在剩下的兩個盒子中隨機選取一盒，並且從中有意挑出一枚銀幣給你看，這時給你兩個選項：你可以在你選定的盒子中隨機抽取一枚硬幣作為獎品，或者在我選趣的盒子中取出剩下的那枚硬幣作為獎品，請問哪個選項對你更為有利？

 

如果Monty Hall 問題以這種方式出現，會不會也讓人覺得有違直覺呢？