一次徹底失敗之成功

戴榕菁

過去這些年裏我做過很多哲學項目，不論是抽象的社會動力分析，還是經典哲學解譯，還是對於邏輯本身的抽象探索，還是診斷專業哲學的衰敗原因，還是心理人文探索，還是經濟動態規律分析，還是關於自然與超自然的形而上學，還是推翻宏觀能量必須守恒的結論，還是推翻狹義相對論並指出量子理論和廣義相對論的一些相應的缺陷，甚至是推翻所謂的康托連續性假設（即希爾伯特第一問題），等等等等，感謝上帝，我都令自己驚奇地一路順風地披荊斬棘，屢獲成功，而且所有的成功都是曆史性的和突破性的，沒有任何對前人工作的重複，包括對老子，柏拉圖，亞裏士多德，康德，黑格爾的解讀都一再糾正相關的領域的專業哲學家們的錯誤，有些是他們至今也不明白的錯誤，有些是他們中的一些人這兩年裏也開始改正的錯誤（比如，將Transcendental和a priori都翻譯成“先驗”這個錯誤）。盡管其間也出現過一些錯誤和挫折，但都很快在沒有得到任何其他人的指正和幫助的情況下，被我自己糾正了。當然，我自己明白這完全是上帝的帶領的結果！

或許有人會質疑說：你貼出來的都是成功的，誰知道你背後有過多少失敗的例子沒有貼出來呢。坦白地說，不論你們信還是不信，過去這些年裏我所花費時間的項目中隻有一個項目是徹底失敗的，不過與我這些年所做的其它項目不同，那個項目基本上稱不上是一個哲學項目。我在開始的時候也曾想著或許我可以借助哲學分析為那個號稱是讓所有的數學家栽跟頭，甚至可以說是數學家墳場的看似最簡單的數學題目開辟一個不同於數學家們的新思路，但是很快就意識到沒那麽簡單。所以那次的失敗應該是自己的一次任性嚐試的結果。

很多讀者可能已經猜到，那個失敗的項目所針對的數學題目就是著名的考拉茲猜想（Collatz Conjecture）。我前後共嚐試了兩次，第一次是2021年看了Veritasium（即Derek Muller）的相關視頻【[1]】後，感覺這個問題確實如他所說看上去非常簡單，因而出於好奇就想試一下，正好幾天後需要去車行維修車子且被告知可能要等很長時間（那時是新冠正猛的時期），所以我就背個書包，揣了一些廢紙，在車行開始了白紙黑字的推導，但很快發現這個問題與哲學沒什麽關係，所以離開車行後就再也碰過它，不過心裏還想著按照自己的思路做下去或許有戲，打算日後有時間或許還可以再撿起來玩玩。

第二次是今年3月底，在以為推翻狹義相對論的工作可以告一段落的時候正好有點時間就又撿起了這個考拉茲猜想，但4天後終於明白了這是一個至少目前對我來說是一個不可能完成的任務而且今後恐怕也不會再去碰的問題，於是就是徹底撒手。

或許有人會說，要想解決考拉茲猜想至少要先去看看別人怎麽做的吧。我當然不會去幹這事，那是因為從一開始我就認為這不是一件正經的事，純粹是一種誘惑之下的嚐試，看看哲學分析在這裏是否能有點作用，如果我的思路能走通，那一定是前人沒有走過的，如果自己的思路走不通，那就不會再去深究。當然，我還是簡單地了解了一下他人（包括Muller介紹）的思路，知道我自己的思路與數學界的不同。盡管如此，隻有象我這樣嚐試過的人才能體會其中的誘惑，所以即便我一開始並沒打算陷進去，我仍將自己對考拉茲猜想的淺嚐輒止的果斷退出看成是一種自律的成功。

前兩天YouTube名為“雅桑了嗎”中文頻道又在談論這個考拉茲猜想【[2]】，該視頻的標題提醒我何不將我自己那個失敗了推導過程寫出來。一方麵雖說我的嚐試不成功，但我失敗的一個很重要的原因是不具備應有的計算手段（我所有的就是一台老舊的windows10筆記本），而我推導的過程與數學界的思路不一樣，且至少從一個角度將該問題的難點揭露了出來，說不定別人有條件的按照相同的思路能夠取得進展呢；另一方麵反正我已不打算再碰它了，既然已經花費了幾天的時間，就不如將自己的思路公布出來也算沒完全浪費時間。

先簡單介紹一下考拉茲猜想（Collatz Conjecture）【[3]】:

任何一個（大於2的）自然數，如果它是偶數，那麽將它除以2，如果是奇數，那麽將它乘以3再加1。然後如果所得結果不是4，2，1，就再重複上述操作，最後的結果一定會落在4，2，1之中。而上述的變換也叫做考拉茲變換。當然，考慮到4，2按照考拉茲變換結果也是1，也可以說考拉茲變換最後結果就是1。

現在來談一下我的思路。我的基本思路是將自然數按照考拉茲變換來分類，找到這種分類的一般表達式，然後看是否能證明這樣的分類可以覆蓋所有的自然數。下麵將第k類寫成N_k，並將變換後得到4，2，1的稱為考拉茲數。我們先考察幾個有限的k，看是否能總結出規律來。下麵推導中的整數都是非負的。

第一類N₁: 令N₁= 2ⁿ，           n為大於等於1的任意整數                                                                            (1)

很顯然，N₁一定是考拉茲數。

第二類N₂：令 3N₂ + 1 = N₁= 2ⁿ                                                                                (2)，則有 

N₂ = (N₁ – 1)/3 = (2ⁿ – 1)/3                                                                                          (2a)

很顯然，N₂一定是考拉茲數，且不難證明 (2)中的n 一定為 2m，m為任意非零整數，所以

N₂ = (2^2m– 1)/3                                                                                                             (2b)

第三類N₃： N₃ = N₁N₂= 2ⁿN₂                                                                                                    (3)

很顯然，N₃一定是考拉茲數。

第四類N₄：令3N₄ + 1 = N₃= N₁N₂= 2ⁿN₂                                                                  (4)，則有 

N₄ = (N₁ N₂– 1)/3 =[ 2^(2m+n) -2ⁿ -3]/3²                                                                           (4a)

很顯然，N₄一定是考拉茲數。

第五類N₅： N₅ = N₁N₄= 2ⁿN₄                                                                                                    (5)

很顯然，N₅一定是考拉茲數。

第六類N₆：令3N₆ + 1 = N₅= N₁N₄= 2ⁿN₄                                                                  (6)，則有 

N₆ = (N₁ N₄– 1)/3 =[2^(2m+n?+n?) – 2^(n?+n?) – 3x2^n? – 3²]/3³ (6a)，

其中的x表示乘號。很顯然，N₆一定是考拉茲數。

第七類N₇： N₇ = N₁N₆= 2ⁿN₆                                                                                                    (7)

很顯然，N₇一定是考拉茲數。

第八類N₈：令3N₈ + 1 = N₇= N₁N₆= 2ⁿN₆                                                                  (8)，則有 

N₈ = (N₁ N₆– 1)/3 =[2^{(2m+n?+n?+n?)} – 2^(n?+n?+n?) – 3x2^(n?+n?) – 3²x2 ^n?–3³]/3⁴                         (8a)，

其中的x表示乘號。很顯然，N₈一定是考拉茲數。

到這一步我們已經可以很清楚地看出考拉茲數的一般表達式如下：

N_2k = [(2^2m-1)2^f(k,1)-3x2^f(k,2)-3²x2^f(k,3)-……-3^(k-2)x2^f(k,k-1) – 3^(k-1)]/3^k                                               (9a)

N_2k+1 = N₁ N_2k=2ⁿN_2k                                                                                                   (9b)

其中的x表示乘號，函數f(k,t)為：

              (10),

而n_{t（t=1,2,3,…,k-1）}是任意的自然數，我們並不知道其具體值與N_k之間有什麽隱藏的規律。

很顯然，按照上麵一步步的思路，所有考拉茲數必然都能由(9a)和(9b)來表達。那麽接下來的問題是：由(9a)和(9b)表達的考拉茲數是否覆蓋所有的自然數？答案顯然是肯定的，否則考拉茲數集合與自然數集合就不重合，那麽考拉茲猜想就不成立了。問題是如何證明這一點。

一個簡單的思路是證明一個考拉茲數加1或加2之後仍然是考拉茲數，但這樣的難度是很大的，原因很簡單：N_2k與k之間不存在一個簡單的單調關係。N_2k增加1或2，k可以向上（即變大）或向下（即變小）好幾位數。

那麽是否可以證明由(9a)和(9b)表達的兩個考拉茲數的（非負）線性疊加仍是考拉茲數呢？這個我也證不出來。到了這一步，我徹底明白接下來就不是我能玩的遊戲了，所以就果斷地退出了。

結束語

這就是這幾年裏我所做的唯一徹底失敗的一個項目，耗時4天加上在車行的幾個小時。

那麽我為什麽又說它是“一次徹底失敗之成功”呢？主要有兩個原因。其一，我很快判斷出其（至少對於不具備相關的計算工具的我來說）之真正難點，從技術上說這算是一種成功；其二，更重要的是我當時理智地抵抗住了的進一步做下去的誘惑而果斷地停止了該項目。

讀者或許會說：這裏能有什麽誘惑呢？不會是吃不到葡萄說葡萄酸吧？還真不是那麽回事。這裏的誘惑還確實很大。誘惑的原因其實很簡單：這個問題不但看上去實在太簡單了，而且每一步都會讓人覺得下一步也很簡單。即便是我已經看出其詭譎多變的難點以及對於計算手段（即電腦）的高要求時，仍然會心裏癢癢地覺得一定能找出其中的規律而躍躍欲試。所以，當時能夠理智地戰勝誘惑讓我感到是一次比做出來更重要的成功。

 

 

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[[1]]  Muller, D. [Veritasium] (2021). “The Simplest Math Problem No One Can Solve - Collatz Conjecture”. [video] URL: https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg

[[2]] 雅桑了嗎 （2023）“最簡單的不可能解決的小學數學題：3n+1猜想！陶哲軒說不可能證明”. [video] URL: https://www.youtube.com/watch?v=PWxGEOQ6aYo

[[3]] 維基百科“考拉茲猜想”.Retrieved from: https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E8%80%83%E6%8B%89%E5%85%B9%E7%8C%9C%E6%83%B3#:~:text=%E8%80%83%E6%8B%89%E5%85%B9%E7%8C%9C%E6%83%B3%EF%BC%88%E8%8B%B1%E8%AF%AD,%E6%9C%80%E7%BB%88%E9%83%BD%E8%83%BD%E5%A4%9F%E5%BE%97%E5%88%B01%E3%80%82

[慕容青草]

對於對本文提供的方法感興趣的考粉們，我在英文版中提供了幾個數的參數展開，有興趣的可以去看：

https://murongqingcao.wordpress.com/2023/09/11/collatz-set/

[慕容青草]

澄清一點： 我文中說“那個項目基本上稱不上是一個哲學項目”，指的是在得出方程（9）和（10）以後，想繼續證明它們覆蓋自然數，基本就是數學操作了。。。。但本文得出（9）和（10）的步驟其實還是非常哲學的，與數學界的思路完全不同。。。。