相對論動量和能量的一筆亂賬

戴榕菁

1. 引言

原本以為經過了近一年的努力可以給狹義相對論了賬了【[1]】，但隨著對量子場論的問題的深挖，發現狹義相對論對於量子論的真正的負麵影響在於所謂的相對論動量和相對論能量之間的關係：

E² = p²c²+m²c⁴                                     (1)

其中m是粒子的質量，c是真空中的光速。E是粒子的總能量，由下式給出

E = γmc²                                              (2)

p是粒子的動量，由下式給出

p = γmv                                               (3)

v是粒子運動速度，γ是所謂的洛倫茲因子，由下式給出：

γ = 1/√(1-v²/c²)                                   (4)

(1) 式之所以會成為量子場論的基本公式是因為量子場論的實驗基礎是眾所周知的加速器，而加速器是不會直接測量粒子的速度的，連粒子的能量也不會去測，隻會根據加速器自己消耗的能量去推算粒子的速度，能量，動量，甚至質量【[2]】。這樣一來(1) 式便成為了量子物理學家的真正的所謂相對論依據。但作為包括量子場論在內的所謂的相對論力學（relativistic mechanics 【[3]】）的基本關係的 (1)式本身就是一筆亂賬。所以有必要給它結個帳。

盡管有很多推導(1)式的文章，其實你根本找不到對 (1)式的嚴格推導，因為那是根本不存在的。當然，在已知狹義相對論是錯了的前提之下，我們可以得出結論說所有關於(1)式的推導都是錯誤的。不過，既然這個世界上的大多數人還沒有認識到狹義相對論是錯的，而主流物理學界仍將它作為量子場論的基礎，那麽我們就從狹義相對論出發來看得出(1)式的這筆賬有多亂吧。

你能找到的對 (1)式的推導主要有三種，第一種是用所謂的4向量（Four Vector）來推導，另一種是先推導出 (2)，然後從(2)式出發推出 (1) 式及 (3)式，還有一種是先推導出 (3)，然後從 (3)式出發推出 (1)式和 (2)式。其中任何一種推導都是將推導和定義混合起來。所以，也有人幹脆將 (1)，(2)，(3)都作為定義給出，這雖然讓人感覺很懵比，但實際上和對這三個公式看似唬人的所謂嚴格推導在本質上是一回事兒。文章後麵的參考文獻【3】中有不同的推導，其實都不外乎上述幾種類型中的不嚴格的推導。說它們不嚴格，是與本文給出的推導相比較而言的。但因為狹義相對論是錯的，即便是本文給出的推導也肯定不會是完全嚴格的。

這裏我們不去討論用所謂的4向量（Four Vector）來對(1)式的推導，因為那4向量（Four Vector）本身就是一筆亂賬。下麵我們先直接推導(2)式和(3)式，然後從(2)和(3)式推導(1)式。這將是在承認狹義相對論的前提下可以推出(1)式的最嚴格的途徑了。最後，我們再來看為什麽即便是這樣最嚴格的途徑仍然是一筆亂賬。

2. 推導(2)式

在假定狹義相對論成立的前提下，我嚐試著用各種途徑來直接推導(2)式，但都不成功。最後在愛因斯坦最初發表狹義相對論的著名文章【[4]】中找到了對(2)式的最原始的不涉及其它定義的最直接的推導。由參考文獻【4】可看出，愛因斯坦其實也不是在最一般的條件下推出(2)式的，而是針對電場中的自由電子推出(2)式的。而且他的出發點是今天的相對論學者最不願提及的牛頓力學：

md²x/dt² = εX                                       (5a)

md²y/dt² = εY                                       (5b)

md²z/dt² = εZ                                        (5c)

其中ε是電子的電荷，X，Y，Z，是電場向量的在x，y，z三個方向上的分量，而md²x/dt²，md²y/dt²，md²z/dt²自然就是電子的在x，y，z三個方向上的加速度。所以，(5a-c)就是典型的經典牛頓定律的表達式。從上麵三個公式出發，愛因斯坦又列出了在以速度v相對於（t，x，y，z）坐標係運動的（τ，ξ，η，ζ）中的相應公式，然後再運用洛倫茲變換（愛因斯坦在該文中自己在光速不變的前提下推導了一遍洛倫茲變換），愛因斯坦得出下麵的關係：

W = mc²{γ-1}                                      (6)

其中W是電子在電場作用下獲得的能量，也就是電子在電場中獲得的動能。

我們將(6)式與著名的靜止質量的質量能量關係E=mc²相結合，便可得出(2)式：

E = γmc²                                              (2)

3. 推導(3)式

從牛頓定律出發，在（t，x，y，z）坐標係中我們有：

dp/dt = F                                              (7)

在（τ，ξ，η，ζ）坐標係中我們有：

dp’/dτ = F’                                           (8)

其中p’和F’是電子在（τ，ξ，η，ζ）坐標係中的動量和受力。為了簡便起見，這裏我們隻考慮受力方向與相對速度v的方向一致的情形。在這前提下，力為坐標變換下的不變量，所以我們有

dp/dt = dp’/dτ                                      (9)

因為dt/dτ =γ，所以我們有：

p = p’dt/dτ = γp’ = γmv                       (10)

對比(10)和(3)我們可看出它們是一樣的。這裏要強調一點：你在文獻中找不到比上述過程更“嚴格”的推導(3)式的邏輯了。一會兒我們就會知道為什麽要強調這一點了。

4. 由(2)和(3)推導(1)式

有了(2)和(3)再推導(1)式就比較容易了。

由(2)式平方得：

E²=m²c⁴ + c²(m²v²c²/(c²-v²))                (11)

由(3)式平方得：

p² = m²v²c²/(c²-v²)                               (12)

由(11)和(12)得到(1)式：

E² = p²c²+m²c⁴                                     (1)

5. 討論

你找不到比上述推導過程更“嚴格”的推導(1)式的文章了，不信可以試試看。然而雖然上述推導過程乍看很“嚴格”，但實際上有很大漏洞。

首先，我前麵提到由(9)到(10)是直接推導(3)式的最“嚴格”的步驟了，但實際上它是不對的，因為它混淆了粒子自身的運動速度與兩個坐標係之間的運動速度。其實，如果粒子在（t，x，y，z）坐標係中的速度為v的話，那麽它在（τ，ξ，η，ζ）就是0。所以，在對(3)式的推導中，粒子的運動速度和坐標係之間的相對運動速度是不能一樣的。

但在所有的相對論力學中，在上述這一點上都打了馬虎眼，也就是說在相對論力學中(3)式是獨立於粒子自身的運動速度而普適地成立的。而這一馬虎眼的一個直接的後果便是：在量子力學中，動量成為了可以獨立於速度的物理量。這對量子力學來說是至關重要的一個基本原理。

與這一基本原理相對應的便是光子的動量為:

p=E/c                                                   (13)

大家或許會說，(13)式中的動量不是與光子的速度有關嗎？其實，那是一個假象，因為在量子場論中光速c是個常量，因此它已經無所謂是否為具體光子的運動速度了。

所以，從表麵上看，上述的推導過程似乎是從動量，能量，速度，和力的最基本的概念出發，一步步嚴格地推導出來的，其實根本不是這樣的，因為在這過程中，即便我們把愛因斯坦用電子動力學公式得出的結果作為(2)式在一般情況下的正確公式，整個推導過程也不再是由基本的動量，能量，速度，和力的最基本的概念出發得出的結果了，這是因為作為其中最關鍵的量的動量是在相對論力學中重新定義了的量！

與之相應地，相對論力學中用動量守恒定律取代了經典力學中的牛頓第二定律。但是，如果你要想找到對於相對論力學中的動量守恒定律的嚴格推導的話，你一定會找到一地雞毛。也就是說你會找到很多，但要麽是錯誤的，要麽就是簡單幹脆地將(3)式作為有質量的粒子的動量的定義，將(13)式作為光子等無質量粒子的動量的定義，然後直接要求這樣定義的動量必須守恒。

在經典力學中，動量守恒是牛頓第二定律的直接推論，而到了量子力學，因為沒有了牛頓第二定律，動量守恒就成為了沒有前提條件的必然定律。

5.1. 牛頓定律與量子動量守恒的區別

那麽，牛頓定律與量子動量守恒有什麽區別呢？

很簡單：牛頓定律一方麵是由之前的觀測數據中總結出來的經驗定律，另一方麵已經過了無數的實踐數據的檢驗。

那麽有人會說量子動量守恒不也受到檢驗了嗎？

這裏的區別在於，牛頓定律所接受的檢驗是計算的結果與直接測量的數據之間的對比；而量子力學的動量守恒一方麵隻是對經典力學的動量守恒的一種形式上的推廣，另一方麵它的所謂檢驗是將計算的結果與半測量半計算的結果進行對比（也就是說，量子力學的所謂檢驗是用量子力學推導出的結果與用基於狹義相對論的量子力學的公式對某一類的測量結果進行對比的檢驗）。這兩者當然不可同日而語！

不僅如此，在量子場論的檢驗中，物理學家們會對一些基本的哲學邏輯進行修改，將碰撞了十億次才出現一次且隻維持了十的負22次方秒的在光滑曲線上的小隆包認定為必然的存在。

以這樣的量子場論作為人類文明的自然哲學的基礎，至少讓我覺得無法釋然，不知其他人都是怎麽想的。

更何況，我們已經在量子場論以外的領域證明了狹義相對論是錯的。。。。。。

 

 

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【[1]】 戴榕菁 （2022）給狹義相對論結個帳

【[2]】Ask the Van (2007) “Measuring Particle Masses”. Retrieved from: https://van.physics.illinois.edu/ask/listing/1209#:~:text=Typically%2C%20subatomic%20particle%20masses%20are,is%20the%20speed%20of%20light.

【[3]】 Wikipedia (2023) “Relativistic mechanics”. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_mechanics. Last edited on 18 January 2023, at 02:51 (UTC).

【[4]】 Einstein A. (1905) “On the Electrodynamics of Moving Bodies”. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik. 17:891, 1905, translations by W. Perrett and G.B. Jeffery. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/

[慕容青草]

歡迎參加英文討論：

https://www.academia.edu/s/21bff1eea0?source=link

[慕容青草]

糾正補充：本文及之前的評論中一帶而過地說有人從（2）推出（3）或從（3）推出（2）。。。。其實，從（3）推出（2）是有的，但從（2）推出（3）是沒有的，凡試圖從（2）推出（3）的實際都是在推導過程中直接定義（3）而不是推導（3）。所以，得出（3）的途徑隻有兩個：要麽象本文這樣地打馬虎眼地直接“推導”出（3），要麽就是幹脆直接定義（3）。至於用4向量來推導（3）那更是胡扯，完全就是在洛倫茲變換的基礎上進行定義而不是推導。

還有很多人試圖用動量守恒來推導（3），那更是本末倒置。其結果隻有兩個：1）他推導到最後還是要定義（3）；2）他號稱推導出了（3），但你一定能在他的推導過程中找出荒唐的邏輯錯誤來。。。。。這是因為，相對論的動量守恒是在（3）的基礎上定義出來的，而不是推導出來的。牛頓的dp/dt=F是經驗公式，而將p=mv改為（3）之後，這個公式就不再是經驗公式了，而是定義了。

[慕容青草]

另外，牛頓定律與量子場論的實驗驗證還有一個原本不應該是本質的區別但現在看來似乎已成為本質的區別：牛頓定律被從中學生，鄉村知識分子到工程師，建築師等等無數人驗證過。。。。。而量子場論的所謂驗證隻是在極少數的精英圈中用隻有他們才能接觸到的加速器進行驗證。。。。

雖然今天世界上已有上萬台加速器，但隻要不是象牛頓定律的驗證那樣的任意不可控的普通人的驗證，極少數的人的驗證是很容易產生皇帝新衣效應的，也就是說極少數可控的人很容易會按照嚴格的程序進行並按照嚴格的公式進行計算的。。。。尤其是當每一台加速器都是天價（它消耗的電費都可以是天價，別提造價了）時，人們更是不敢隨心所欲。。。。即便出現少數不同的聲音，也很容易被打壓下去。。。。。

所以，這樣的驗證的可信度是大打折扣的。。。。。

[慕容青草]

為減少誤解，對文中的“嚴格”稍作解釋：



1）我之所以用引號是因為我已知狹義相對論是錯的，推導錯誤的公式自然是再嚴格也還是不嚴格。

2）我之所以用“嚴格”二字，是因為在假定狹義相對論成立的前提下，你找不到比本文的推導更嚴格的了。。。或許有人認為可以從(3)推出(2)或從(2)推出(3)會更嚴格。。。其實，那隻能是更不嚴格。。。因為(2)和(3)本身都是不嚴格的，你用它們相互推導肯定比不上本文這樣先直接推導(2)和(3)更嚴格。。。。