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來源：http://web.wenxuecity.com/BBSView.php?SubID=religion&MsgID=217882
* 關於哥德爾不完全定理 來源: zcxx 於 06-06-24 12:31:58
我覺得對於不完全定理，不宜加進去過多的所謂的意義。這個定理的適用範圍很窄，通過這個定理，我們無非可以認識到，純粹形式化的方式，是無法得到所有數學真理的，但是其他意義上的引申，尤其是在哲學、宗教甚至狹窄到形式化數學以外的範圍，都是不謹慎的。
比如冷不丁朋友說的：“如果要用一句話來形容歌德爾不可判定原理的意義，那就是直覺超過理性，人類永遠無法通過理性來完全了解這個世界。”（也不是隻有這一句或者隻有這一篇，我隻是借此來說個事，總要有個具體例子:-)）在這句話裏，“理性”就被簡單化為形式化方法了。另外岔開說一句，“完全了解這個世界”這個任務，本身就包含了“理性”，因為“了解”這個詞，就大大含有理性成分。
即使從形式化方法來講，哥德爾不完全定理本身就是形式化方法的一大豐碑，盡管它指出了這方法的局限性。但科學中有許多定理和定律，就是告訴人類什麽是做不到的，比如熱力學三大定律。我們同樣不能將它們看做是理性的局限。最後，事實上絕大部分科學都不用形式化方法，最多有幾個非形式化的公理，比如狹義相對論。你不能說，這就不是理性的方法。
*哥德爾不完全定理是可以延伸到社會學、宗教等領域的 來源: 冷不丁 於 06-06-24 13:02:37
不僅僅是在數學領域。因為它是對公理係統完備性的否定，而人類的邏輯，也就是你說的理性，是從公理出發的。熱力學三大定律、狹義相對論都是邏輯推演的結果。
*不是公理係統，是形式化係統 來源: zcxx 於 06-06-24 13:35:13
這兩個東西有聯係，但是也有區別，區別可以見王浩的《數理邏輯通俗講座（講義？）》前幾章。你可以看看哥德爾定理的具體敘述，它的應用範圍就是形式係統，而且是要包含了Peano係統的係統，而不是任何一個公理係統，普通的數學科普文章總是不分清這兩者的區別，雖然對於了解一下這個定理，讀讀這些文章也足夠了，但是如果要“應用”了，光看這些東西就不夠了。
不能看見一個“邏輯”就硬搬上去套，如果這樣的話，哥德爾還有一個著名的關於一階邏輯的完全性定理呢，是不是也可以不加限製地引申，說邏輯完全，理性萬能了
* 公理係統的符號推衍，演化為形式係統，這個推衍過程就是邏輯 來源: 冷不丁 於 06-06-24 13:58:10
哥德爾一階邏輯的完全性定理，說的是第一步的形式化推演，當然不能引申，因為任何一個定理的推演不是一步就完成的。
* 你對“一階邏輯”的理解也不正確 來源: zcxx 於 06-06-24 14:16:17
不是什麽“一步就完成”。但這個概念比較難以簡單地說清，我就不多說了。事實上，比方說狹義相對論的論證過程，就不是什麽“符號推衍”，你也舉不出例子來，在哲學、宗教方麵有誰在拿“符號推衍”來推出他們的理論來。真的按照遵循形式係統的推理方法的，連數學學科中，都找不出幾門來:-)這就是為什麽我說哥德爾定理不能夠這樣胡亂地引申到其他領域中去的原因，因為它們根本不符合定理的條件。
另外，就算是嚴格的形式係統，如果不符合“包含Peano係統”這個條件，那就還是有可能是完備的，比如歐氏幾何的Hilbert係統，比如實數和複數的形式化係統，都是完備的。
*“宗教方麵有誰在拿‘符號推衍’來推出他們的理論”來源: 冷不丁 於 06-06-24 14:38:22
看看這個：Ontological Arguments http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/ontological-arguments/ 隻能遺憾地說，你沒有完全理解哥德爾定理，雖然你拿出很多的術語，但你的理解有問題。你說的“狹義相對論”、歐氏幾何的Hilbert係統，與我們的討論根本無關。
*你完全搞錯了 來源: zcxx 於 06-06-24 14:56:06
Ontological Arguments之於神學，就如同進化論或創造論之於神學，都是論據，而非神學理論本身。我說的是“宗教方麵有誰在拿‘符號推衍’來推出他們的理論”，結果你說的是神學方麵有人拿“符號推衍”作為一種論據，這就完全錯了，這跟說“有人用進化論來推出神學”一樣好笑。Ontological Arguments和進化論一樣，如果說對神學來說有意義，那隻是作為一種論據，而不是作為其本身研究的方法。而我問的是：你看見有誰先把他的神學公理化形式化了，然後再一步步推出他的結論？隻有在這種情況下，你才可以把哥德爾定理應用到這個神學理論上去，Ontological Arguments則完全不是這麽回事。
至於我說的“狹義相對論”、歐氏幾何的Hilbert係統，無非是向你說明，哥德爾定理的成立，是需要非常嚴格的先決條件的，有一絲不符合，就不能應用。這些和數學理論這麽靠近的係統都如此，你怎麽就可以很不謹慎地說“可以延伸到社會學、宗教等領域的”呢？我說的這些東西，和我們的討論是有非常密切的關係的。
*算了，和你這種人羅嗦純屬浪費時間 來源: 冷不丁 於 06-06-24 15:13:39
我已經完全看明白，你根本就不知道哥德爾定理說的是什麽。
再對你說一次：狹義相對論”、歐氏幾何的Hilbert係統與哥德爾定理的成立毫無關係，就好像風馬牛是不相及的。你先搞清楚什麽是公理，然後再來談數理邏輯。我沒義務科普，也不想賣弄我的數學知識。
其實，從你說我對“哥德爾一階邏輯的完全性定理”的解釋不正確開始，我已經知道你是個業餘數學愛好者。既然你說這個概念比較難以簡單地說清，又認為我說的不對，那麽，拿出你的理解，用最簡單的、一個高中生能夠完全讀懂的比喻來說說。推論的第一步總是完備的——這就是“一階邏輯的完全性定理”的本質，但是，任何一個定理的推演不是一步就完成的。
最後，不懂不要裝懂。
*嗬嗬，不要惱羞成怒。我這種人嘛，在說正事的時候是道理擺證據的 來源: zcxx 於 06-06-24 15:29:43
我說過“‘狹義相對論’、歐氏幾何的Hilbert係統與哥德爾定理的成立有關係”嗎？從來沒有，也用不著你來提醒，更用不著“再說一次”，事實是，這句話你是第一次說，如果是已經說過了，我早就會對你說前麵這話。
而我說的是（大家也可以看我的首帖）：這個定理的適用範圍很窄，通過這個定理，我們無非可以認識到，純粹形式化的方式，是無法得到所有數學真理的，但是其他意義上的引申，尤其是在哲學、宗教甚至狹窄到形式化數學以外的範圍，都是不謹慎的。
哥德爾定理的應用是有其嚴格的前提條件的，隻要前提條件有一點不符合，它就不能被應用，我舉狹義相對論、歐氏幾何等幾個例子，就是為了具體說明這個道理，就是擺證據。而冷不丁你呢？前麵說“哥德爾不完全定理是可以延伸到社會學、宗教等領域的”，結果我叫你舉哪怕一個在這方麵，適合哥德爾定理使用條件的理論，你都舉不出來，拿個Ontological Arguments來湊數，這實在比不上前麵大有要把哥德爾定理囊括“理性”範圍的氣勢嘛。
我也許是個數學愛好者，也許連愛好者都不是，這才是和我們討論沒有什麽關係的事情，我就算貼出數理邏輯博士文憑，講不出道理，也不能表示我正確了。相反，講出道理，擺出證據，指出對方哪裏錯了，才是正確的辯論方式，對不對？
*哦，似乎不用改。既然冷不丁朋友要求，我順便講兩句一階邏輯 來源: zcxx 於 06-06-24 15:49:07
*Ontological Arguments是湊數嗎？那就是哥德爾搞出來的東西 來源: 冷不丁 於 06-06-24 15:41:39
算了，不要拿術語來唬人，不懂就是不懂，沒什麽不好意思的。我有什麽好惱羞成怒的？對一個三歲小孩說121+17=138，小孩當然不懂，我也當然不至於惱怒。
你如果有“數理邏輯博士文憑”就不會講不出道理，不會拿術語來堆砌。另外，如果你真有“數理邏輯博士文憑”，嘿嘿，那我就是上帝。
最後回你一貼
*哥德爾搞出來的東西，所以？可哥德爾對相對論也有貢獻啊 來源: zcxx 於 06-06-24 15:54:42
按你的邏輯，你怎麽說相對論和我們討論的東西無關呢？嗬嗬，歪理不是這麽說的。
我從來沒有說我有數理邏輯博士文憑。雖然我對我的數學水平有充分信心，但是我不會隻因為某人有或者沒有某個文憑而評價他的水平。我的評價，從來都是基於擺出的證據和邏輯的，就算是上帝又如何？:-)
*回複：不是公理係統，是形式化係統 來源: 測試111 於 06-06-24 18:25:10
在這點上我不得不同意冷不丁。誠然，形式係統不同與用人類普通語言構築的公裏係統。但形式體係無非也是人們邏輯思維規律的一種影射。說穿了，數學本身就是一整套形式體係(這一點，學抽象代數的更有體會)。嚴格的說，數學定理的表述必須能夠用一整套符號以及他們之間的形式邏輯關係來表述。但這並不等於說，數學定理和我們所處的物理世界沒有任何關係。事實上，把數學定理、數學公式用在物理學就是把原先一套純粹的符號體係進一步同物理世界的各種物理量對應起來，也就是說賦予每一個符號於具體的物理意而已。之所以能夠這樣做，就是應為數學定理作為一套純粹的形式體係其中的邏輯關係，無非反映的正是某種客觀世界的內在邏輯規律而已。否則，數學本身就失去了任何實際意義，而僅僅是一套符號遊戲而已。
*哥德爾不完全定理不是可任意擴大外延的 來源: iamcaibird 於 06-06-24 16:23:19
我的本行不是數學，隻是在大學時由於專業的原因接觸了哥德爾定理。數學是在嚴格條件下成立的，其中有假想的成分。看一看歐幾裏得絕對平麵空間是否是我們現實的空間就明白了。由於我們不能肯定我們的現實是否是完全遵守形式邏輯的，所以我不是同意把哥德爾定理搞得放之四海而皆準。之所以用哥定理來論證基督教，之不過是以子之矛攻子之盾。
在科學中，形式邏輯並不是新發現的主要工具。假想-〉理論-〉驗證才是。形式邏輯隻是肯定理論沒有矛盾的方法。故我認為其他科學學科不是完全的公理係統，更不用所哲學，宗教，等其他。
*同意你的看法 來源: zcxx 於 06-06-24 16:47:15
我的本行也不是數學，不過哥德爾定理的證明曾化過一個暑假啃過，沒看證明前，幾乎不信居然有這樣的定理，而看過證明後，才知道自己對定理本身和有關的概念有很深的誤解，而這誤解，許多是因看了一些科普文章所致。
以子之矛攻子之盾是很有效的辦法，不過不能自己也當了真:-)關於你說的“形式邏輯隻是肯定理論沒有矛盾的方法”，克萊茵在《數學，確定性的消失》中有一個比喻，說形式化不過是數學的消毒劑（大意），我曾很反感這種說法，但是越對形式化方法有了解，我越覺得這種說法有道理。
* 關於哥德爾不完全定理 來源: zcxx 於 06-06-24 12:31:58
我覺得對於不完全定理，不宜加進去過多的所謂的意義。這個定理的適用範圍很窄，通過這個定理，我們無非可以認識到，純粹形式化的方式，是無法得到所有數學真理的，但是其他意義上的引申，尤其是在哲學、宗教甚至狹窄到形式化數學以外的範圍，都是不謹慎的。
比如冷不丁朋友說的：“如果要用一句話來形容歌德爾不可判定原理的意義，那就是直覺超過理性，人類永遠無法通過理性來完全了解這個世界。”（也不是隻有這一句或者隻有這一篇，我隻是借此來說個事，總要有個具體例子:-)）在這句話裏，“理性”就被簡單化為形式化方法了。另外岔開說一句，“完全了解這個世界”這個任務，本身就包含了“理性”，因為“了解”這個詞，就大大含有理性成分。
即使從形式化方法來講，哥德爾不完全定理本身就是形式化方法的一大豐碑，盡管它指出了這方法的局限性。但科學中有許多定理和定律，就是告訴人類什麽是做不到的，比如熱力學三大定律。我們同樣不能將它們看做是理性的局限。最後，事實上絕大部分科學都不用形式化方法，最多有幾個非形式化的公理，比如狹義相對論。你不能說，這就不是理性的方法。
*哥德爾不完全定理是可以延伸到社會學、宗教等領域的 來源: 冷不丁 於 06-06-24 13:02:37
不僅僅是在數學領域。因為它是對公理係統完備性的否定，而人類的邏輯，也就是你說的理性，是從公理出發的。熱力學三大定律、狹義相對論都是邏輯推演的結果。
*不是公理係統，是形式化係統 來源: zcxx 於 06-06-24 13:35:13
這兩個東西有聯係，但是也有區別，區別可以見王浩的《數理邏輯通俗講座（講義？）》前幾章。你可以看看哥德爾定理的具體敘述，它的應用範圍就是形式係統，而且是要包含了Peano係統的係統，而不是任何一個公理係統，普通的數學科普文章總是不分清這兩者的區別，雖然對於了解一下這個定理，讀讀這些文章也足夠了，但是如果要“應用”了，光看這些東西就不夠了。
不能看見一個“邏輯”就硬搬上去套，如果這樣的話，哥德爾還有一個著名的關於一階邏輯的完全性定理呢，是不是也可以不加限製地引申，說邏輯完全，理性萬能了
* 公理係統的符號推衍，演化為形式係統，這個推衍過程就是邏輯 來源: 冷不丁 於 06-06-24 13:58:10
哥德爾一階邏輯的完全性定理，說的是第一步的形式化推演，當然不能引申，因為任何一個定理的推演不是一步就完成的。
* 你對“一階邏輯”的理解也不正確 來源: zcxx 於 06-06-24 14:16:17
不是什麽“一步就完成”。但這個概念比較難以簡單地說清，我就不多說了。事實上，比方說狹義相對論的論證過程，就不是什麽“符號推衍”，你也舉不出例子來，在哲學、宗教方麵有誰在拿“符號推衍”來推出他們的理論來。真的按照遵循形式係統的推理方法的，連數學學科中，都找不出幾門來:-)這就是為什麽我說哥德爾定理不能夠這樣胡亂地引申到其他領域中去的原因，因為它們根本不符合定理的條件。
另外，就算是嚴格的形式係統，如果不符合“包含Peano係統”這個條件，那就還是有可能是完備的，比如歐氏幾何的Hilbert係統，比如實數和複數的形式化係統，都是完備的。
*“宗教方麵有誰在拿‘符號推衍’來推出他們的理論”來源: 冷不丁 於 06-06-24 14:38:22
看看這個：Ontological Arguments http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/ontological-arguments/ 隻能遺憾地說，你沒有完全理解哥德爾定理，雖然你拿出很多的術語，但你的理解有問題。你說的“狹義相對論”、歐氏幾何的Hilbert係統，與我們的討論根本無關。
*你完全搞錯了 來源: zcxx 於 06-06-24 14:56:06
Ontological Arguments之於神學，就如同進化論或創造論之於神學，都是論據，而非神學理論本身。我說的是“宗教方麵有誰在拿‘符號推衍’來推出他們的理論”，結果你說的是神學方麵有人拿“符號推衍”作為一種論據，這就完全錯了，這跟說“有人用進化論來推出神學”一樣好笑。Ontological Arguments和進化論一樣，如果說對神學來說有意義，那隻是作為一種論據，而不是作為其本身研究的方法。而我問的是：你看見有誰先把他的神學公理化形式化了，然後再一步步推出他的結論？隻有在這種情況下，你才可以把哥德爾定理應用到這個神學理論上去，Ontological Arguments則完全不是這麽回事。
至於我說的“狹義相對論”、歐氏幾何的Hilbert係統，無非是向你說明，哥德爾定理的成立，是需要非常嚴格的先決條件的，有一絲不符合，就不能應用。這些和數學理論這麽靠近的係統都如此，你怎麽就可以很不謹慎地說“可以延伸到社會學、宗教等領域的”呢？我說的這些東西，和我們的討論是有非常密切的關係的。
*算了，和你這種人羅嗦純屬浪費時間 來源: 冷不丁 於 06-06-24 15:13:39
我已經完全看明白，你根本就不知道哥德爾定理說的是什麽。
再對你說一次：狹義相對論”、歐氏幾何的Hilbert係統與哥德爾定理的成立毫無關係，就好像風馬牛是不相及的。你先搞清楚什麽是公理，然後再來談數理邏輯。我沒義務科普，也不想賣弄我的數學知識。
其實，從你說我對“哥德爾一階邏輯的完全性定理”的解釋不正確開始，我已經知道你是個業餘數學愛好者。既然你說這個概念比較難以簡單地說清，又認為我說的不對，那麽，拿出你的理解，用最簡單的、一個高中生能夠完全讀懂的比喻來說說。推論的第一步總是完備的——這就是“一階邏輯的完全性定理”的本質，但是，任何一個定理的推演不是一步就完成的。
最後，不懂不要裝懂。
*嗬嗬，不要惱羞成怒。我這種人嘛，在說正事的時候是道理擺證據的 來源: zcxx 於 06-06-24 15:29:43
我說過“‘狹義相對論’、歐氏幾何的Hilbert係統與哥德爾定理的成立有關係”嗎？從來沒有，也用不著你來提醒，更用不著“再說一次”，事實是，這句話你是第一次說，如果是已經說過了，我早就會對你說前麵這話。
而我說的是（大家也可以看我的首帖）：這個定理的適用範圍很窄，通過這個定理，我們無非可以認識到，純粹形式化的方式，是無法得到所有數學真理的，但是其他意義上的引申，尤其是在哲學、宗教甚至狹窄到形式化數學以外的範圍，都是不謹慎的。
哥德爾定理的應用是有其嚴格的前提條件的，隻要前提條件有一點不符合，它就不能被應用，我舉狹義相對論、歐氏幾何等幾個例子，就是為了具體說明這個道理，就是擺證據。而冷不丁你呢？前麵說“哥德爾不完全定理是可以延伸到社會學、宗教等領域的”，結果我叫你舉哪怕一個在這方麵，適合哥德爾定理使用條件的理論，你都舉不出來，拿個Ontological Arguments來湊數，這實在比不上前麵大有要把哥德爾定理囊括“理性”範圍的氣勢嘛。
我也許是個數學愛好者，也許連愛好者都不是，這才是和我們討論沒有什麽關係的事情，我就算貼出數理邏輯博士文憑，講不出道理，也不能表示我正確了。相反，講出道理，擺出證據，指出對方哪裏錯了，才是正確的辯論方式，對不對？
*哦，似乎不用改。既然冷不丁朋友要求，我順便講兩句一階邏輯 來源: zcxx 於 06-06-24 15:49:07
| 但是我說過這個問題不是很容易講清，所以隻能簡單提提，要應用的話，就不能直接拿我的話去用了，就好像光看關於哥德爾定理的科普文章，就要把這定理用到別的領域去一樣不謹慎了。 我們中學學的命題邏輯，可以被看作是零階的。一階邏輯是命題邏輯的擴充，加入了表示論域對象的性質的詞，叫謂詞。比如“雲是白的”，在命題邏輯裏你隻能把它作為原子命題，但是一階邏輯裏我們可以把“……是白的”作為一個性質，表示成P，那麽P(x)就代表“x是白的”。我們還可以引入量詞，就是倒寫的A和E，表示“任意的”，和“至少存在一個”，這樣的邏輯係統就是一階的，但是在一階係統中我們不能把量詞用在謂詞上，表達比方說“對所有的性質，……”這樣的命題，如果要表示這樣的命題，就要用二階以上的命題了。 但是一階邏輯已經足夠強大，來表示幾乎所有的數學理論了。哥德爾不完全定理就是一個對於一階係統的定理。 |  |
*Ontological Arguments是湊數嗎？那就是哥德爾搞出來的東西 來源: 冷不丁 於 06-06-24 15:41:39
算了，不要拿術語來唬人，不懂就是不懂，沒什麽不好意思的。我有什麽好惱羞成怒的？對一個三歲小孩說121+17=138，小孩當然不懂，我也當然不至於惱怒。
你如果有“數理邏輯博士文憑”就不會講不出道理，不會拿術語來堆砌。另外，如果你真有“數理邏輯博士文憑”，嘿嘿，那我就是上帝。
最後回你一貼
*哥德爾搞出來的東西，所以？可哥德爾對相對論也有貢獻啊 來源: zcxx 於 06-06-24 15:54:42
按你的邏輯，你怎麽說相對論和我們討論的東西無關呢？嗬嗬，歪理不是這麽說的。
我從來沒有說我有數理邏輯博士文憑。雖然我對我的數學水平有充分信心，但是我不會隻因為某人有或者沒有某個文憑而評價他的水平。我的評價，從來都是基於擺出的證據和邏輯的，就算是上帝又如何？:-)
*回複：不是公理係統，是形式化係統 來源: 測試111 於 06-06-24 18:25:10
在這點上我不得不同意冷不丁。誠然，形式係統不同與用人類普通語言構築的公裏係統。但形式體係無非也是人們邏輯思維規律的一種影射。說穿了，數學本身就是一整套形式體係(這一點，學抽象代數的更有體會)。嚴格的說，數學定理的表述必須能夠用一整套符號以及他們之間的形式邏輯關係來表述。但這並不等於說，數學定理和我們所處的物理世界沒有任何關係。事實上，把數學定理、數學公式用在物理學就是把原先一套純粹的符號體係進一步同物理世界的各種物理量對應起來，也就是說賦予每一個符號於具體的物理意而已。之所以能夠這樣做，就是應為數學定理作為一套純粹的形式體係其中的邏輯關係，無非反映的正是某種客觀世界的內在邏輯規律而已。否則，數學本身就失去了任何實際意義，而僅僅是一套符號遊戲而已。
*哥德爾不完全定理不是可任意擴大外延的 來源: iamcaibird 於 06-06-24 16:23:19
我的本行不是數學，隻是在大學時由於專業的原因接觸了哥德爾定理。數學是在嚴格條件下成立的，其中有假想的成分。看一看歐幾裏得絕對平麵空間是否是我們現實的空間就明白了。由於我們不能肯定我們的現實是否是完全遵守形式邏輯的，所以我不是同意把哥德爾定理搞得放之四海而皆準。之所以用哥定理來論證基督教，之不過是以子之矛攻子之盾。
在科學中，形式邏輯並不是新發現的主要工具。假想-〉理論-〉驗證才是。形式邏輯隻是肯定理論沒有矛盾的方法。故我認為其他科學學科不是完全的公理係統，更不用所哲學，宗教，等其他。
*同意你的看法 來源: zcxx 於 06-06-24 16:47:15
我的本行也不是數學，不過哥德爾定理的證明曾化過一個暑假啃過，沒看證明前，幾乎不信居然有這樣的定理，而看過證明後，才知道自己對定理本身和有關的概念有很深的誤解，而這誤解，許多是因看了一些科普文章所致。
以子之矛攻子之盾是很有效的辦法，不過不能自己也當了真:-)關於你說的“形式邏輯隻是肯定理論沒有矛盾的方法”，克萊茵在《數學，確定性的消失》中有一個比喻，說形式化不過是數學的消毒劑（大意），我曾很反感這種說法，但是越對形式化方法有了解，我越覺得這種說法有道理。
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