公理·邏輯·神·理性（1）

（一）公理 首先抄一段Wikipedia關於公理的陳述： 公理一詞源自希臘文axioma，原意是“有價值的思想”。 1、公理是最基本和不證自明(或假定為不證自明)的真理； 2、公理是推定任何其他命題的原始出發點，它本身不能由其他命題演繹而來。 公理不像其他由之推導出來的命題一樣可以被證明，其功能在於建構出一個協調並兼容的係統。所以，那種認為公理是可以通過歸納邏輯來證明的看法，是錯誤的，並且這和科學的可證偽性是不相關的。最能說明問題、也最為大家熟知的就是歐幾裏德的“平行線公理”：“若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。”通過歐幾裏德的“平行線公理”可以導出下述命題：通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。 歐幾裏德幾何的五條公理中，就是這最後一條的敘述最繁複、最羅嗦——它看上去不象公理，而是一個可以被證明的命題。所以，自從歐氏幾何誕生，千百年來有無數的人在努力證明“平行線公理”，但是都以失敗告終。一直到高斯、黎曼等數學家登上舞台，才徹底結束了證明“平行線公理”的嚐試。黎曼關於平行線的基本假設是：“通過一個不在直線上的點，可以做兩條不與該直線相交的直線。”由此開創了黎曼幾何，這是非歐幾何的開始。數學家證明，非歐幾何在邏輯上是自恰的，也就是說和歐氏幾何一樣，在邏輯上都是正確的，沒有矛盾。 說到這裏，不能不提提唯心主義的哲學家康德。康德認為這個世界是先天既定的，時間和空間隻是人類感知的一種模式，他稱之為直覺。康德認為空間來自於人的心智，也就是說，空間是從人的大腦中創造出來的。既然如此，心智就自然接受空間的某些屬性，比如直線是兩點間最短距離，三角形內角和等於180度等，沒有理由不讓這個空間是歐氏空間。這促使他堅信：不存在歐氏幾何以外的空間（準確點應該是，康德不能構想出別的幾何空間）。如果康德能夠多注意一下他同時代發展出的非歐幾何，估計他就不會這麽輕率的得出結論。後世的愛因斯坦開創的廣義相對論說明：時空是彎曲的，恰恰可以用黎曼幾何來描述。 康德認為歐氏空間是人類思考和感知外部世界的先決條件。我們現在知道，這是錯誤的。雖然歐氏空間不是我們思考和感知外部世界的先決條件，但是，我們的思維的確是歐式空間的，這又是康德正確的地方。這句話很繞，我可以舉個例：我們知道非歐幾何是正確的，並且可以用它來描述時空，但是，因為非歐幾何是非先驗的，所以在你的腦子裏構不出非歐幾何的圖像，比如，你不能想象兩條平行線相交是什麽情況。這也從一個側麵說明：公理是不可證明的。 這些說明了什麽？說明我們的大腦有其局限性，思維不是無限的。有趣的是，如果你假設，通過一個不在直線上的點，可以做三條不與該直線相交的直線。你就又開創了一門幾何（大家不用試了，已經有人做了），有N條平行線，就有N門幾何，在邏輯上都是自恰的。類似平行線公理的還有康托連續統假設。於是就引出了哥德爾不完備定理。在上世紀六十年代，數學家證明了“平行線公理”、“康托連續統假設”都屬於不可判定的命題，既無法證明，也無法證偽。數學家可以按照自己的喜好任意選擇，或是進入歐式幾何的係統，或是進入非歐幾何的係統。 現在我們可以回到對公理的認識了。除了開始的關於公理的那兩條定義之外，我們還應該知道，公理係統是可以擴充的。如果擴充的公理係統中，某一條公理屬於“不可判定”的命題，那麽對其“真”或“非真”的不同選擇，可以衍生出兩套邏輯上都正確的係統，比如，歐式幾何與非歐幾何。這樣的認識是我們後麵討論的基礎。 下一篇：邏輯

[iamcaibird]

用歸納法來證明公理的想法的確是錯了。我對相對論的光速不變的假設影響太深以至深以為一切公理可由歸納證明。

[iamcaibird]

"平行線公理”都屬於不可判定的命題, 我還真不知道。

[瓦器]

寫得很有意思哦，等著看下文。。。