三門問題

從短視頻上看來的一個經典問題：

出自一個娛樂電視節目，ABC三扇門：一個門後有車，兩個門後是羊（隨機分布）。嘉賓隨便選一扇門，得車概率是1/3.

可是有一次，某嘉賓選了A門，主持人卻打開了B門，發現是一隻羊。這時問題就有意思了： 這位嘉賓得到一個在A與C之間重選的機會，他應該不應該從A門換為C門呢？

或者說，換到C門得車的概率更高，還是A門不換更高，還是換不換一樣高呢？

如果你沒看過答案，就想想看吧：）

 

 

所有跟帖： 

• 哈哈, 經典的概率問題, 從中可見條件概率定義的局限, 有興趣不妨討論一下 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:34:49

• 條件概率公式(貝葉幸公式)在這裏並無遭遇局限. 數理是有局限或漏洞,但不要在這麽淺的層麵隨便懷疑數學的局限 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:34:16

• 很願意與您討論 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:37:03

• 抱歉我話說衝了，晨跑受傷心情不好，沒有冒犯的意思 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:07:44

• 完全不必介意! 健老腦子敏捷, 我對此劃過很長時間, 正苦於無人指點, 略有心得, 正想與您分享 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:14:33

• 你或許對Bayesian統計不是很熟，非常powerful， 我隻是工作中用得多點，有的要涉及上百變量 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:40:20

• 我是想從概率空間來看, 每扇門都是1/3, 主持人掌握了2/3, 他用已知信息排出了一扇, 剩下的是2/3 -walkman222- ♂ (60 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:02:22

• A -美國老師- ♂ (37 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:47:00

• 提示: 傳統的解法一般都比較複雜, 從信息的角度就很簡單 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:49:14

• 關鍵的你卻沒交代清楚，主持人是無意錯開了B門還是故意開了B門 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:56:08

• 這個俺也沒留意。俺的理解是主持人的行為對嘉賓的決定和相應的概率沒有影響。 -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:01:35

• 我猜吧，這個問題應該是主持人故意開錯，選了一個羊門，否則沒啥意思了 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:03:40

• 應該是沒有影響, 但主持人開的一定不是車 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:07:32

• 是的。 -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:13:46

• 主持人如果聽錯了而開B門當然不一樣 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:17:03

• 說說看，怎麽不一樣？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:45:37

• P(B=羊 / 聽錯) = 2/3, 而P(B=羊 / 故意) = 1 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:48:41

• 依據是什麽道理呢？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:51:58

• P(A= 車 / B=羊) = P(B = 羊 / A = 車) * P(A=車) / P(B=羊) -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:52:50

• P(B = 羊/A=車) =1, P(A= 車）=1/3 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:54:37

• 所以聽錯的話 P(A=車/B=羊）=1/2， 而故意的話 P(A=車/B=羊）=1/3 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:56:21

• 好。俺猜W兄與平等兄一定有不同看法：） -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:57:44

• 抱歉我魯莽了明麵上一下都寫出來了，不該這樣的 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:28:41

• P(B = 羊 / A = 車) 的定義是什麽? -walkman222- ♂ (53 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:10:16

• 條件概率啊，A門是車的話B門是羊的概率 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:14:50

• 這可不能像寫寫曆史那麽隨意，上麵兩個都結果是不一樣的，交代清楚了一點都不難 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:01:36

• 擴展一下，如果是100個門，你選一個不打開，主持人打開98個羊的，剩下一個，然後問你換不換，你會怎麽想？ -小二哥李白- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:04:26

• 還可以擴展：如果在嘉賓選之前，主持人就打開B為羊門，跟主樓的情況還一樣嗎？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:09:08

• 從信息的角度看, 每扇門都是1/100, 你選的任何一扇門都是1/100, 但主持人是知道的, 他排出了98扇門, 剩下 -walkman222- ♂ (43 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:42:12

• 那麽，如果主持人排除了95扇呢？換不換，換後得車的概率增加了嗎？增加了多少？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:48:45

• 主持人是知道的, 他掌握了99/100的概率, 他排出了95扇門, 剩下的仍是99/100 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:51:19

• 不換的概率總是1/100, 換的概率是99/100, 再均分的剩下的99-95=4扇門, 所以當然要換 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:59:32

• 100門，換；三門，換不換一樣 -忒忒綠- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 22:55:00

• 這壇上我介紹過兩次，Bayesian公司是一個很偉大的公式，盡管簡單卻能糾正很多人的主觀直覺，在決策科學有大用場 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:26:19

• 概率是一樣的，選A或C都是1/2概率 -為人父- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:28:17

• 瞧，人家誤會了不是。如果主持人聽錯，你是對的，否則堅持A隻有1/3的概率，見我上麵推導。100扇門同理，反而不會誤會 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:31:18

• 如果認為主持人是故意的, 或者說他是知道那扇門有車的話, 我有一個理解: -walkman222- ♂ (167 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:36:27

• 如果主持人不是故意的，選C得車的概率會有不同嗎？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:41:03

• 原題的意思是主持人知道車在哪裏, 這個題與美國1991年的原題又多了一層 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:48:53

• 建議大家移樽就駕, 看上麵1991的原題, 它比此題簡化了一層 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:56:02

• 這個比較有意思：知道而暴露B和不知道而暴露B，對嘉賓選擇的影響是什麽？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:09:00

• 從信息的角度看, 主持人知道哪裏有車, 就可以排除有羊的門, 他掌握了2/3的概率, 可以使剩下的門提高到2/3 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:16:15

• 可是如果隻看事實呢？主持人不知情的情況下排除了一個門，對嘉賓來說麵對的情況不一樣是2/3嗎？ -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:24:52

• 問題是能不能重複, 即每次主持人都在不知道的情況下無知地排除一扇門? -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:28:10

• 這個問題不要求重複啊。就是這種情況下的概率差別 -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:46:15

• 如果主持人不知道, 他隻有1/3的概率, 他排除了一扇門, 剩下的各占1/2 -walkman222- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:53:30

• 金筆網友已經貼了答案和原理。主持人知情的唯一作用就是他不會開錯門，對嘉賓選擇結果是沒有影響的。 -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/18/2024 postreply 14:08:42

• 很對。這個題的文字很容易誤導讀者 - 支持人是聽錯誤開 -老鍵- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:47:13

• 如果在嘉賓選之前，主持人就打開B為羊門，跟主樓的情況還一樣嗎？ - -stonebench- ♂ (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:42:07

• 知情與否，不是在開門見驢後我們才討論的。若不知情，則主持人可能打開車門。 -JSL2023- ♂ (172 bytes) () 02/24/2024 postreply 18:00:09