最近專攻JSL兄推薦的一本書：Goedel, Escher and Bach，簡稱GEB。這本書在MIT open course 裏有講座，於是不敢怠慢，引言就看了一周（主要重新去複習了一遍慌言悖論和羅素的理發師悖論），發覺作者的描述確實和哲學裏的理解有偏差。這裏先不提，過兩天專門寫文repo一下。
剛剛終於讀到正文，開頭就是關於Archilles和烏龜的對話，然後看到禪宗大師, 六祖Zeno，一下子給我笑翻了。心想Zeno是六祖，那麽他follow的Parmenides算是誰呢？果然，作者一本正經以Zeno“六祖”的身份介紹他師父“五祖”（Parmenides）的理論：現實本實是不可切割且不變的the One(這其實也是基督教對上帝描述的哲學來源），變化與運動都是不可能的，它們其實都是我們感官的錯覺。
既然提到了Zeno，又看到壇中對“點”又感起興趣來，我覺得可以寫一下古希臘在此話題上的一些淵源。
Zeno最有名的應該是他的悖論，我也在追上追不上，形邏應用中說起過他的箭矢和二分法悖論。但其實他還有一個很有名的against畢達哥拉斯學派（就是那個也發現了勾股定理的數學學派）的論證，是關於unit占不占物理空間的問題：
如果一個點有magnitude, 且無窮個點組成一個線段，那麽任何線段都是無窮長的。
如果一個點沒有magnitude，再多點加在一起也不可能有任何magnitude。
（讀到這裏，石石子是不感到了來自古希臘的共鳴？）
我認為Zeno這裏的第一句話是對的，因為任何長度乘以無窮大都是無窮大。這段話和Zeno的其它悖論不同。其它的悖論裏，一段距離，先二分，再四分，再八分……，越分越小，所以加起來時，它們收斂於一個極限。例如0.1+0.01+0.001……，可以無限加下去，但因為加數越來越小，結果可以不是無窮大。但線段上的點是任意點，所以如果點有magnitude，那麽所有點都應該是等值的，沒有任何理由在這裏假設一個點比另一個點小，所以這裏可以用乘法。而任何正數乘以無窮大，都是無窮大。
所以在現實裏的一段線，它沒有“無窮”個點，“無窮”這個概念是數學概念，不是物理現實。
我們再來看Zeno的第二段話：
如果一個點沒有magnitude，再多點加在一起也不可能有任何magnitude。
這裏先說明一下，沒有magnitude和沒有部分是不同的。一個事物沒有部分，這在古希臘的意思是這個事物不可分，它內裏沒有和此事物不同的structure。比如一棵樹它是有部分的，樹幹，樹枝，樹葉，都有不同的structure。但”atom”（古希臘概念的原子）就沒有部分，因為它不可分，但這並不是說它沒有magnitude。在今天我們說有些基本粒子，point-like，也不是說它們完全不占據空間，而是說它們沒有（沒發現）inner structure。
那麽我們假設點不占據空間，在現實裏，又如何有magnitude呢？我們說，雖然點不占據空間，但它可以讓別人也占據不了空間。粒子，原子，分子之間都有非常複雜的作用力，有排斥有吸引，而正是net的“排斥力”產生了“距離”。
最後再申明一遍，數學概念是數學概念，物理現實是物理現實。數學有無窮連續，物理現實是有限離散（最起碼量子級的能量不是連續的）。因為現實夠小，在一定程度上可以用數學公式有效模擬現實，但這不代表數學就百分百精確對應現實。現實沒有完美的圓，於是也沒有Pi，無理數，虛數……。
