試解

設AB=x, AD=y, 則
  BC^2 = AB^2 + AC^2
       = AB^2 + (AD + DC)^2
       = x^2 + (x+y)^2
       
於是原題轉化為條件極值問題:
已知 x^2 + y^2 = 10^2
求  x^2 + (x+y)^2 的最大值

   x^2 + (x+y)^2
 = 2x^2 + 2xy + y^2
 = x^2+y^2 + x^2+2xy
 = 100 + x^2 + 2xy    
 
 設m=(sqrt(5)-1)/2， 則有 m(m+1) = 1
 故 2xy = 2 * sqrt(m(m+1)) * xy
        = 2 * sqrt(m)x * sqrt(m+1)y
        <= mx^2 + （m+1)y^2

因此  100 + x^2 + 2xy
   <= 100 + x^2 + mx^2 + （m+1)y^2
   = 100 + (m+1）（x^2 + y^2)
   = 100 + 100*(m+1)
   = 100 * （m+2)
   
故BC的最大值是
  sqrt(100 * (m+2))
  = 10 * sqrt(m+2)
  = 10 * sqrt((sqrt(5)+3)/2)
  = 5 * sqrt(2*sqrt(5) + 6)

得到的結果比較複雜，不知有沒有算錯

所有跟帖： 

• 正確！我用三角法得出相同結果，但此題是初中題，應該還有純幾何解法 -萬斤油- ♂ (0 bytes) () 12/06/2023 postreply 17:41:29

• 我得的結果是，最大值為10*sqrt(5)。請兩位檢查。 -wxcfan123- ♂ (551 bytes) () 12/06/2023 postreply 19:27:36

• 可能是這裏有誤 -kde235- ♂ (195 bytes) () 12/06/2023 postreply 20:53:16

• 謝謝。求極值點的方程確實是 X*sqrt(100-X^2) = 2X^2 - 100。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 12/06/2023 postreply 23:56:46

• 重算了一下。還是不同。請各位有興趣笨算的網友指正。 -wxcfan123- ♂ (670 bytes) () 12/07/2023 postreply 10:37:34

• 你的公式是正確 -天長地久- ♂ (157 bytes) () 12/07/2023 postreply 13:42:12

• 沒錯，求導後的方程，若有兩邊平方運算，有可能產生增根,其實舍去的150+50sqrt(5)才是正解，請看幾何解法 -萬斤油- ♂ (445 bytes) () 12/07/2023 postreply 16:46:05

• 能不能將幾何證明轉過來。 -wxcfan123- ♂ (57 bytes) () 12/07/2023 postreply 17:51:56

• X^2=50-10sqrt(5) 代入X*sqrt(100-X^2)=2X^2 - 100後,右邊小於0 -萬斤油- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:02:25

• 謝謝！ -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:13:26

• 複盤自己的解。還是計算太粗心。求極值點的增根，隻要還在定義域內對極大值問題沒有本質的影響。 -wxcfan123- ♂ (146 bytes) () 12/07/2023 postreply 19:08:51

• 抖音裏的一道題，幾何解法隻有一張圖，解釋是我加的，請看： -萬斤油- ♂ (345 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:25:41

• 讚, 還是幾何解法漂亮! -kde235- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:50:49