1855年2月，偉大的數學家Gauss離世了，他在哥廷根大學的位置空了下來。為了填補這一空缺，大學招來了Dirichlet。當時Dirichlet在柏林大學任職，這樣他在柏林大學的位置就空出來了。Dirichlet推薦了Kummer接替他的位置。
Kummer是Breslau大學的教授，他一走，他的位置又空下了。Kummer知道，Weierstrass是該位置的熱門人選。他不想讓Weierstrass得到這個位置。為什麽呀？他們有仇嗎？沒有，Kummer有點私心，想讓Weierstrass去柏林，這樣他們好共事。於是Kummer推薦了自己以前的一個學生Joachimsthal。
Kummer曾經在Liegnitz的一所高中教過十年書，學生中有兩位數學才華出眾，其中一位就是Joachimsthal，另一位是Kronecker。Liegnitz那時是德國的城市，現在歸屬波蘭，改名為Legnica 了。
Kummer的全名是Ernst Eduardo Kummer，生於1810 年1月29日，1893年5月14日在柏林去世。
Kummer的爸爸是位醫生，在Kummer隻有三歲的時候就過世了。當時拿破侖的法國軍隊入侵德國，帶來了可怕的傷寒傳染病，他爸在治病過程中勞累過度，不幸染病身亡。他家生活的重擔就落在他媽一人的肩上了，生活的清苦是可想而知的。1828年他18歲的時候進了Halle大學學習神學。
人的一生有不少偶然，Kummer的偶然是碰到了一位叫Heinrich Ferdinand Scherk(1798–1885)的數學教授，引起了他對數學的熱愛，在他大學三年級的時候解決了一個數學難題並獲得博士學位。當時大學沒有合適的位置，他就在1832年進了Liegnitz一所中學任教，一教十年。
1836年Kummer在Crelle的雜誌(那個發表Abel論文的雜誌) 上發表了一篇關於超幾何序列的論文，並給數學家Jacobi 寄了一份拷貝。這樣他就和Jacobi 以及後來和Dirichlet建立了聯係。1839年，在Jacobi和Dirichlet的推薦下，Kummer當選了柏林科學院院士。這下Jacobi意識到，必須給Kummer找一個大學的位置了。1842年，Kummer在Jacobi的推薦下得到了Breslau大學數學係教授的位置。
還記得前麵提到的Fermat猜想嗎？由於該難題的久攻未克，法國科學院提供了一個金質獎章和3000法郎的獎金，獎勵解決此難題的人。
1847年3月1日，Gabriel Lame 在巴黎科學院做了一個演講。幾年前他證明了Fermat猜想在n=7時的正確性。此時他站在講台上，宣稱他已經在攻克難題的邊緣。是的，眼下的證明並未最後定稿，但幾周之後就會有完整的證明。
台下的聽眾驚呆了，Lame 剛下講台，著名的數學家Cauchy就站起來說，他要借此機會說幾句話，他同Lame一樣，幾周之內也要給出完整的證明。
這樣一來，聽眾沸騰起來了，獎牌和獎金將會花落誰家？
Cauchy 和 Lame 都知道時間緊迫，必須爭分奪秒。在大家的殷切期盼中，他們在四月都給出了各自的證明。證明都不太嚴謹，有點含混不清。大家都在揣測，誰將最先給出嚴謹的證明呢？
5月24日的一項聲明，終於平息了大家的好奇之心。給出聲明的既不是Cauchy也不是Lame，而是數學家Joseph Liouville。Liouville宣讀了德國數學家 Ernst Kummer的一封來信，信中說：他研究過了Cauchy 和Lame 已經透露的論文細節，知道他們都陷進邏輯上的死結，就是他們都依賴關於數的因子分解的唯一性。因子分解的唯一性對通常的整數是對的，但對Cauchy 和 Lame 所需要的數是不對的，因為他們所涉及的數包含了虛數。Kummer 給出了具體的例子，表明因子分解並非唯一。同時他又進一步指出，對有些素數 n，可以證明所需要的因子分解唯一性是成立的，因而對這類素數 n 相對應的 Fermat 猜想是成立的。對於那些使得因子分解不唯一的素數，他稱之為非正則素數，就需要另尋它徑證明Fermat猜想。比如他能證明，在小於100的素數中，隻有37，59和67是非正則素數，因此在 n 不超過100時，如果 n 是異於37，59 或 67時，所對應的Fermat猜想是成立的。這樣雖然他並未完全證明Fermat猜想，卻把對該問題的研究推進了一大步。
Kummer的信件對Lame打擊很大，他感覺鬧了一個笑話。在給Dirichlet的信中他寫道：“要是你在巴黎，或者我在柏林，這一切就不會發生了。”
Dirichlet是因嚴謹而出名的，隻要和他探討過這個證明，他一定能發現漏洞。原來早在1843年，Kummer就有了類似的想法，以為自己證明了Fermat猜想，他告訴了Dirichlet自己的證明，就是後者發現了問題，讓他繼續不斷地得以改進。
1857年，Cauchy總結該獎的進展情況，指出雖然獲獎期限一再延期，法國科學院總共收到11篇相關論文，卻沒有一個真正證明了猜想，因此該獎委員會決定，將該獎授予做出重要貢獻的Kummer先生。
Kummer並未參與該獎的競爭，卻意外獲得獎章和獎金，真的是有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭。
接下來說說Weierstrass，他的全名是Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，生於1815年10月31日，1897年2月19日在柏林去世。
Weierstrass兄妹四人，他是老大。在他8歲的時候，他爸成了稅務官，因而必須經常變換工作地點，他也不得不經常更換學校。1827年他媽去世了，一年之後他爸再婚，1829年他爸升了職，成了Paderborn 稅務局的助手，這樣Weierstrass 就進了當地的一家教會中學。為了補貼家用，他找了份幫人記賬的課外工作，同時他的學業也很優秀，獲得不少獎勵。他的數學成績更加突出，水平遠遠高於中學的水平。他爸很開心，為他設計好了光明的未來。1834年中學畢業，他被送進了Bonn大學，學習法律，財經和經濟。這些東西學好了，他就能前程似錦，一片光明。
這些並非他所愛，由於沒了大人的約束，他學會了擊劍和喝酒，而對他爸指定的專業沒有興趣。他身材高大，身手敏捷，據說擊劍沒有對手。四年後他兩手空空回到家裏，沒有帶回任何學位。爸爸的失望可想而知，曾經的未來之星，就這樣平淡無光，爸爸極度傷心，曾經一度對他不理不睬，視若無物。
在一位親戚的調和下，他爸同意再給他一次機會，讓他進了一所職業學校，將來可成為中學老師。
1839年5月22日，Weierstrass 成了Theological and Philosophical Academy of Münster 的一名新生。學校有位數學老師，名叫 Christoph Gudermann，Weierstrass跟他學習數學，學會了用無窮級數研究橢球函數。
1842年Weierstrass 取得了教師資格證，開始了他的教師生涯。他先後在幾所不同的中學任教。作為中學老師，他不僅要教數學 ，還要教物理，曆史，地理，德語甚至體操等課程。晚年他回顧這段日子，說那真是枯燥乏味的一段時光。他在中學呆的時間，比Kummer還長幾年。
1854年39歲的時候，他在Crelle 的雜誌上發表了一篇關於Abel函數的論文，引起了轟動，一向默默無聞的Weierstrass一時間得到了大家的認可。僅僅因為這篇論文，Königsberg 在同一年給他頒發了榮譽博士學位。他也終於在1856年10月被聘為柏林大學的數學教授，和Kummer真的成了同事。
Weierstrass發表的文章不多，他的很多結果都是在課堂上宣布的，不少都是由他的學生整理課堂筆記後得以發表。他是一位優秀的老師，培養出了不少著名的數學家。由於他對數學分析的傑出貢獻，被稱之為現代分析之父。
Kronecker 是Kummer另一位數學才華出眾的中學生。
Leopold Kronecker，1823年12月7日出生於Liegnitz，1891年12月29日於柏林去世。
1841年Kronecker 進了柏林大學讀書。他興趣廣泛，對數學，天文和哲學都有涉獵。1843年夏天在波恩大學學習天文，1843–1844年又到Breslau大學學習數學，因為他的中學老師Kummer已是那裏的教授。然後回到柏林大學，1845年在Dirichlet的指導下完成博士論文，研究代數數論。
Kronecker是富家子弟，從小家裏就不缺錢。博士畢業後，一位富有的舅舅去世了，他去幫忙料理舅舅莊園的財務，並在1848年和他的表妹喜結良緣。當他不用再呆在自己的莊園親力親為時，於1855年回到了闊別十年的柏林。他非常富有，不需要任何職位，可以專心致誌做他喜愛的數學研究。接下來的幾年他發表了不少文章，並於1861年成了柏林科學院的院士。
柏林科學院的院士有一項特權，雖非職員，也可以在柏林大學教課。在Kummer的勸說下，他就在柏林大學正式授課了。
這時的柏林大學有了Kummer， Weierstrass和 Kronecker等數學大師，吸引了不少優秀的學生，成了當時的數學研究中心，他們三人也成了要好的朋友，這種友誼持續了二十多年。1883年Kummer退休，Kronecker 接替了他的位置，終於有了柏林大學的正式職位。
Kronecker是個代數學家，在代數數論和Galois 理論上都有原創性研究，對離散結構獨有情鍾，他的名言是：上帝創造了整數，其它都是人為。他認為數學應該僅局限在整數以及有限次數的運算。因此對無理數超越數非常抵觸，覺得那是根本不存在的東西。一開始他隻是私底下表達自己的觀點，從1870年開始，就慢慢的將其觀點公開化了。
偏偏他的好友Weierstrass是個偉大的分析學家，就是他提出用有理數序列去無窮逼近無理數，分析中的Bolzano-Weierstrass定理更以其存在性而非構造性證明聞名於世。這樣他們對數學觀點不同就公開化了。
Weierstrass身材魁梧，Kronecker身材矮小，在他們的爭執中往往是後者處於攻勢，前者處於守勢，給人的印象就像一隻小狗總愛對龐然大物聖伯納犬發動攻擊。到了1888年，Weierstrass有點受不了了，一度生出離開柏林去瑞士的念頭。他對朋友說，自己和Kronecker的友誼算是結束了。奇怪的倒是Kronecker還稱Weierstrass是他的好朋友。
後來Weierstrass擔心，一旦自己離開柏林，他的後繼人選就由Kronecker說了算，會對柏林的數學界產生深遠影響，最終決定留下來。
Kronecker對Weierstrass的傷害不是最嚴重的。有位叫Cantor(1845–1918)的柏林大學的學生，被他訓斥為騙子和墮落的年輕人，忍受的痛苦更加持久和巨大，我們已在數學家的故事中提到過。
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