數學家的故事(十二)

來源: 2021-08-25 05:16:26 [] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (12371 bytes)

18 Leonhard Euler(1707—1783)

先說說Basel問題。

Basel問題是由瑞士數學家Jakob Bernoulli公開征求解答的難題:求所有自然數平方的倒數之和。用數學方式表達出來就是:無窮級數1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+••• 的值是多少?Jakob知道該級數收斂並且其值小於2,但對它的精確值卻一無所知。該問題其實早在1650年就被意大利數學家Pietro Mengoli提出來了,但它實在是太難了,大家一直束手無策。

1734年,St. Petersburg科學院冒出一匹黑馬,一位名叫Leonhard Euler的年輕數學家給出了精確答案,所求的值是pi^2/6。

當時的Euler才27歲,St. Petersburg科學院就更年輕了。

Peter大帝是一個具有改革精神的君主,充分意識到俄羅斯的封建落後,執意要向先進的西方學習。他去西方不是遊山玩水,而是在荷蘭親自動手學造船,學解剖。他還試圖隱姓埋名,微服私訪。可他兩米零四的身高,加上比例不太協調的身材,旁人一看就心知肚明,裝什麽裝啊?他聽從了Leibniz的建議,要在St.Petersburg建立科學院,並把首都從莫斯科遷到了St. Petersburg。

Peter大帝在1725年二月去世,沒能看到科學院的落成。St.Petersburg科學院是在1725年由Catherine一世完成的。Catherine原本是Peter的小三,後來成了皇後,再後來就成了皇帝。她繼承了Peter的遺誌,雇傭了很多外國專家,給予他們優厚的待遇。首批雇員當中,就有Johann Bernoulli的兩個兒子Nicklaus Bernoulli(1695—1726)和Daniel Bernoulli(1700—1782),他們都是Euler的朋友。

Paul Euler是Jakob Bernoulli的學生,算是數學愛好者。能夠成為Jakob的門生,功夫自然不會太差。不過那時能夠指望靠數學養家糊口的不多,Paul也不例外,是一個牧師。Paul有個兒子,取名Leonhard。1707年4月15日,Leonhard在Basel降生。不久他們就搬到附近的小鎮Riehen去了。Paul希望兒子能子承父業,將來也做一個牧師。

1720年Euler進了Basel大學,並於1723年取得了哲學碩士學位。在這期間,每周周六他都去Johann Bernoulli家裏上一堂數學課,從而認識了Nicklaus和Daniel,並和他們交上了朋友。但Euler的主要精力還是花在神學,希臘語和希伯來語上。 Johann發現了Euler在數學上的天賦,於是開始做Paul的工作。Johann也是Paul的朋友,在他的勸說下,Paul放棄了原來為兒子設計的前程,Euler終於可以學習自己鍾愛的數學啦。

Euler本想在Basel大學謀一數學職位,沒有結果。他在St. Petersburg科學院的兩個朋友Nicklaus和Daniel來信,說那裏的生理係有個空缺,要Euler趕緊修幾門相關課程,好申請那個位置。Nicklaus和Daniel又在女皇那邊吹風,說他們的朋友如何優秀是個合適人選。

為了有份工作,Euler隻好拚了,趕緊學了解剖學和幾門相關的醫學課程。1727年5月17日,年輕的Euler 來到了St. Petersburg。Euler原來的位置是生理係的低級研究人員,結果被分到了數學係,職位上略有提升。他同時還在海軍做了個兼職醫生。

很不幸,就在Euler到達俄羅斯的當天,Catherine一世去世了。繼任的皇帝是12歲的Peter二世,實權落在了封建落後的保守派手中。新的當權者對外國專家不太友善,覺得為了他們花大價錢不值。正當Euler經濟拮據,想要全職去參加海軍的時候,Peter二世死了。繼任者在錢袋子上放鬆管製,政治上卻更趨嚴酷,時不時的有人會因言論不當丟掉腦袋。Euler 瑾小慎微,潛心研究。1731年,Euler升到物理係的教授。1733年Daniel受夠了俄羅斯嚴密的監控,回到自由的瑞士,Euler則填補了他的空缺成了數學係的主任。1734年他解決了著名的Basel難題,聲名鵲起,他同時也在那一年完婚,娶了Catharina Gsell為妻。

1735年,為了解決法國科學院提出的一個難題,他連續工作三天三夜。難題解決了,右眼視力卻嚴重受損。

再說說Königsberg的七橋問題。

在普魯士的Königsberg市,有一條由西向東的河流。河中有兩座小島,靠上遊的叫C島,靠下遊的叫D島;北岸稱A,南岸叫B。C島和南北兩岸各有兩座橋,D島和南北兩岸各有一座橋,兩島之間有一座橋相連。歲月靜好的市民們吃飽喝足了,突然提出一個問題:誰有辦法走遍七橋,每座橋正好經過一次?

這個問題煞是有趣,做起來想必不會太難,精力旺盛的市民酒足飯飽之後,都去身體力行。久而久之,試的人很多,卻無一人成功。要麽有些橋沒走到,要麽有些橋得重複走。如何才能走遍七橋而不重複呢?於是好事者就去問他們的市長,到底應該如何走法?市長撓著頭皮想:你們問我,我問誰呀?

市長還真有心,寫信去問數學家Euler。Euler想,這完全是一個邏輯問題,和數學一分錢的關係也沒有哇。不過Euler脾氣好,耐著性子解釋,要想走遍七橋而不重複,無論如何是做不到的。

Euler說,為了討論問題方便,我們就不管兩座小島有多大了,統統都縮成一個點,分別叫做C點和D點;南北兩岸分別縮成A點和B點。同樣,我們也不計較橋的長短了,兩點之間的橋就用一根連接兩點的線代表。於是一個看似複雜的問題,就變成一個簡單的圖形了。

假如有這樣一種走法,那麽就有一個起點和一個終點,其它的都是中間點。這又有兩種情況:要麽起點和終點是同一個點,要麽起點和終點是不同點。前一種情形有三個中間點,後一種情形有兩個中間點。

中間點有什麽性質呢?它一定要由某座橋進,而由另一座橋出,進去的橋和出去的橋一定是成雙成對出現的。換句話說,對於中間點,和它相關聯的橋的數目一定是偶數。

但在我們的問題中,與A,B,C,D關聯的橋的數目分別是3,3,5,3,一個偶數也沒有啊,哪個都不可能成為中間點,所以合乎我們要求的走法是沒有的。

為了防止別人再問類似的問題,Euler還給出更一般問題的解答,在1736年以論文的形式提交給了St. Petersburg科學院。他證明了在有更多點或者更多橋的情況下,什麽時候有合乎要求的走法,什麽時候沒有。

Euler對Königsberg七橋問題的圓滿解答,催生了一門新興的數學分支:圖論。一個茶餘飯後的消遣問題,讓Euler意外成了圖論之父。

Euler還有一個與凸多麵體有關的公式,是這樣的:F-E+N=2,其中F,E,N分別是凸多麵體的麵數,邊數和點數。由於這個公式的出現,又催生了另一個數學分支拓撲學的誕生,詳情就不多說了。

數學中有一個著名的Euler恒等式,它把數學中最有名的五個數字0,1,e,i和pi完美的結合了在一起,那是數學中最美妙的公式。

Euler 一共獲得十二次法國科學院頒發的獎章,他的好朋友Daniel得過十次。他是數學史上最多產的數學家,在他死後,還繼續發表了220篇論文。他在數學上的貢獻太多太大了,我們就不再列舉了。

下麵簡單介紹一下他的生平。

Euler一生分為四個時期。

• 青少年時期,1707年—1727年,主要是在瑞士的Basel度過的。
• 青中年時期,1727年—1741年,是在St. Petersburg 度過的。
• 中老年時期,1741年—1766年,是在柏林度過的。
• 老年時期,1766年—1783年,又是在St. Petersburg 度過的。

1741年,在德國的Friedrich二世(1712—1786)邀請下,Euler離開了St. Petersburg,到了德國的柏林科學院任職。柏林科學院是1700年根據Leibniz的建議創立的,第一任院長是Leibniz。

Friedrich二世,又叫Friedrich大帝,也是一位開明君主,大力提倡科學技術,廣泛招攬各種人才。柏林期間,Euler在歐洲的名聲越來越大,他寫的教科書廣受好評。但Friedrich對他不甚滿意,覺得他言談舉止都不如Voltaire(1694—1778)。Voltaire是法國哲學家,作家,劇作家和詩人,語言犀利風趣,很對Friedrich的胃口。當時Voltaire也在柏林科學院供職,Friedrich有時還朗誦自己的詩作,博得Voltaire的稱讚和掌聲。Voltaire可是Friedrich少年時代的偶像,能夠得到他的認可,那是多麽榮耀的事情。Euler咋就不懂得誇我一下呢?他隻會告訴我,在一個三角形中,每條邊長和對角的正弦函數值之比是相同的。Too simple, sometimes too naive!Friedrich甚至譏諷Euler為幾何裏的“獨眼巨人”。

1759年柏林科學院院長病逝以後,很多工作都由Euler代勞,Friedrich卻沒有將他扶正的意思。相反,Friedrich卻跳過Euler,在1763年向法國的數學家D'Alembert(1717—1783)發出邀請。當時Euler和D'Alembert對某些科學問題見解不同,兩人關係有些微妙。得知這一消息,情何以堪?無疑心情有些鬱悶。D'Alembert是識大體之人,拒絕了邀請,明確表示把當時的任何數學家安置在Euler之上都是很荒唐的。

Euler到了柏林以後,和St. Petersburg還保持著密切的聯係。他的論文不少都寄回St. Petersburg發表,並領取俄國支付的退休金。他也熱情招待俄國來的學者,彼此的關係非常融洽。

1760年,俄軍入侵柏林,俄方還專門派了兩名士兵保護Euler城裏的住宅免受搶掠。當得知Euler鄉下的房屋受到俄國士兵的破壞時,俄國的Elizabeth女皇又派人送來賠償金,金額遠遠超過實際損失。

1762年Elizabeth女皇過世,Peter三世繼位。同年他的妻子Catherine(1729—1796)發動政變,Peter三世被殺,她自己做了沙皇,史稱Catherine大帝。Catherine大帝是Peter大帝的仰慕者,盛情邀請Euler返回St. Petersburg工作。

相比Friedrich的不冷不熱,Euler心思有了活動:此處不留爺,自有留爺處,咱何苦非得在一顆樹上吊死?於是在1766年Euler接受了Catherine的邀請,再次回到久別的St. Petersburg。Catherine對他禮遇有加,除了豐厚的薪水,還給他準備了宮廷的房子和一名禦用廚師。他的兒子們也得到了妥善的安置。

回到St. Petersburg後,他的左眼也慢慢變壞,終於在1771年完全失明。這一年禍不單行,後來的一場大火又燒掉了他的房子。多虧有他的傭人Peter Grimm拚死相救,Euler才活了下來。其它一切歸於灰燼,唯獨手稿都完好無損。

謝天謝地!

Euler記憶力超群,能記住整個對數用表。心算能力奇強:完全失明之後,有一天他的兩個助手在計算無窮級數時發現,兩人的計算在第十五位小數點上有差異,正在爭論誰對誰錯,Euler心算過後,給出了正確答案。

1783年9月18日下午,Euler和瑞典天文學家Anders Johan Lexell一起討論天王星與它的軌跡。共進晚餐之後,他一邊喝茶一邊和孫子玩耍,突然腦中風,煙管從手中滑落下來。他喊了一聲:我要死了。

幾小時之後,一代巨人與世長辭,享年76歲。




更多我的博客文章>>>

加跟帖:

  • 筆名:      密碼: 保持登錄狀態一個月,直到我退出登錄。
  • 標題:
  • 內容(可選項): [所見即所得|預覽模式] [HTML源代碼] [如何上傳圖片] [怎樣發視頻] [如何貼音樂]
回到頂部