三個平麵可有、隻有、共有 八種關係

        三個平麵可有、隻有、共有 八種關係

命題1: 一對（兩個）平麵可有、隻有、共有 平行、重合、相交三種關係。

命題2: 如果一個平麵與另外兩個平麵重合，則另外兩個平麵也重合。

命題3: 如果兩個平麵相交，則第三個平麵至少要和它們中的一個相交。

命題4: 一條直線和一個平麵也是可有、隻有、共有 平行、重合、相交三種關係。

一． 對於三個平麵，可組合成C（3，2）= 3對不同平麵。每對平麵都可有命題1所提到的三種關係：平行、 重合、 相交。因此，一種 “三個平麵的關係”就可由 三個“一對平麵的關係”來決定了。

二．“三個平麵的關係”的種類 可以通過若幹種方法來分析， 從而得到區別和劃分。

    1． 按三對平麵關係相同的個數 可分為

        1.1．三對平麵的關係都相同：

            平行 平行 平行

            重合 重合 重合

            相交 相交 相交

        1.2．三對平麵的關係有兩對相同，一對不同：

            平行 平行 重合

            平行 平行 相交

            平行 重合 重合

            重合 重合 相交

            平行 相交 相交

            重合 相交 相交

        1.3．三對平麵的關係都不相同：

            平行 重合 相交

然而，根據命題2: 如果一個平麵與另外兩個平麵重合，則另外兩個平麵也重合，因此 平行 重合 重合 是不可能的。根據命題3: 如果兩個平麵相交，則第三個平麵至少要和它們中的一個相交，因此平行 平行 相交、重合 重合 相交 、 平行 重合 相交 是不可能的。

這樣，就還有如下6種可能的 三個平麵的關係：

            平行 平行 平行

            重合 重合 重合

            相交 相交 相交

            平行 平行 重合

            平行 相交 相交

            重合 相交 相交

 
    2． 按 平行、 重合、 相交 的次序依次靠慮三對平麵的關係

        2.1．一對平麵的關係是平行

            2.1.1．第三個平麵 與 這一對平麵都平行，即 平行 平行 平行；

            2.1.2．第三個平麵 與 這一對平麵中的一個重合，另一個平行，即 平行 平行 重合；

            2.1.3．第三個平麵 與 這一對平麵都相交，即 平行 相交 相交。

        2.2．任何一對平麵的關係都不是平行。一對平麵的關係是重合

            2.2.1．第三個平麵 與 這一對平麵都重合，即 重合 重合 重合；

            2.2.2．第三個平麵 與 這一對平麵都相交，即 重合 相交 相交。

        2.3．任何一對平麵的關係既不是平行，也不是重合。三對平麵的關係都是相交

            2.3.1．三對平麵的關係都是相交，即相交 相交 相交。

    3． 按 平行、 重合、 相交 的其它五個次序依次靠慮三對平麵的關係

    4． 其它可能的分析方法

 
三．相交 相交 相交 ，三個平麵 兩兩相交的情況 比較複雜。

如果二個平麵相交，就有一條交線。第三個平麵與前二個平麵都相交。這條交線與第三個平麵，根據命題4，可有平行 、重合、 相交 三種關係。

    1．如果前二個平麵的交線與第三個平麵平行，則三個平麵 兩兩相交成 三條平行的直線。

    2．如果前二個平麵的交線與第三個平麵重合，則三個平麵 兩兩相交成 一條直線。

    3．如果前二個平麵的交線與第三個平麵相交，則三個平麵 兩兩相交成 三條匯於一點的直線。

這樣，從相交 相交 相交  又衍生出三種可能的 三個平麵的關係。

四．  結論：三個平麵可有、隻有、共有 八種關係。它們是

    1． 三個平麵 兩兩平行（平行 平行 平行）；

    2． 二個平麵平行，第三個平麵與前兩個平麵之一重合（平行 平行 重合）；

    3． 二個平麵平行，第三個平麵與前兩個平麵都相交（平行 相交 相交）；

    4． 三個平麵 重合（重合 重合 重合）；

    5． 二個平麵重合，第三個平麵與前兩個平麵都相交（重合 相交 相交）；

    6． 三個平麵 兩兩相交成 三條平行的直線（相交 相交 相交1）；

    7． 三個平麵 兩兩相交成 一條直線（相交 相交 相交2）；

    8． 三個平麵 兩兩相交成 三條匯於一點的直線（相交 相交 相交3）。

五． 推廣到三個三元方程的方程組。

    一個三元方程 對應於 笛卡爾直角座標係中的 一個平麵，三個三元方程 就對應於 笛卡爾直角座標係中的 三個平麵。因此，上述三個平麵的八種關係，就對應了 三個三元方程的方程組 的八種解的情況。

    1． 三個平麵 兩兩平行（平行 平行 平行），對應的方程組無解；

    2． 二個平麵平行，第三個平麵與前兩個平麵之一重合（平行 平行 重合），對應的方程組無解；

    3． 二個平麵平行，第三個平麵與前兩個平麵都相交（平行 相交 相交），對應的方程組無解；

    4． 三個平麵 重合（重合 重合 重合），整個重合平麵上的點都是對應方程組的解，無窮解；

    5． 二個平麵重合，第三個平麵與前兩個平麵都相交（重合 相交 相交），整個交線上的點都是對應方程組的解，無窮解；

    6． 三個平麵 兩兩相交成 三條平行的直線（相交 相交 相交1），對應的方程組無解；

    7． 三個平麵 兩兩相交成 一條直線（相交 相交 相交2），整個交線上的點都是對應方程組的解，無窮解；

    8． 三個平麵 兩兩相交成 三條匯於一點的直線（相交 相交 相交3），三條直線匯於的那一點是對應方程組的唯一解。

    注意到，隻有在第8種情況下，方程組才有唯一的解。

六．三元方程組的係數 具有 怎樣的特征 才能導至 這八種不同的解的情況 呢？有待進一步地探討。

（完）

所有跟帖： 

• 因為在原貼跟貼有困難，故新開一貼。歡迎指正！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/06/2011 postreply 08:09:26

• The detail of geometry is very good. -jinjing- ♀ (142 bytes) () 10/06/2011 postreply 14:30:00

• 回複：The detail of geometry is very good. -ym8000- ♀ (2118 bytes) () 10/07/2011 postreply 06:40:50

• 謝謝您 通過解析幾何 對三個平麵的八種關係 進行代數方程的表述。收藏研究。 -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 09:33:49

• It should be the same as calculate the ranks of two matrix to d -wxcfan123- ♂ (160 bytes) () 10/07/2011 postreply 17:40:09

• Thanks, could you develop your ideas in more details? -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 18:16:43

• to determine the solution of the system: -wxcfan123- ♂ (296 bytes) () 10/07/2011 postreply 20:12:54

• 高屋建瓴： the ranks 的概念應屬線性代數範疇，初等代數的升華。謝！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/08/2011 postreply 09:31:55

• 回複：It should be the same as calculate the ranks of two matrix to -ym8000- ♀ (268 bytes) () 10/08/2011 postreply 05:52:17

• 高屋建瓴： the ranks 的概念應屬線性代數範疇，初等代數的升華。謝！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/08/2011 postreply 09:31:09

• 津京，謝謝您的鼓勵！ -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 09:35:41

• 謝謝您的題目. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 10/07/2011 postreply 11:17:21