“與數學無關”定理在歐幾裏德平麵幾何學中的證明。

來源: 皆兄弟也於 2010-09-26 20:04:24 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 閱讀數 : (5232 bytes)

從同一點（O）出發有3條直線（OA,OB,OC），在3條直線上各取兩個點構成兩個三角形（A1B1C1和A2B2C2），兩個三角形對應邊的延長線各自相交形成3個交點（A1B1與A2B2相交於P點, A1C1與A2C2相交於Q點, B1C1與B2C2相交於R點），請證明這3個交點（P, Q,和R）一定是共線的。
證明：
1.基本事實
1.1. 歐幾裏德平麵幾何學第五條公設，平行公理：通過直線外一點，有且僅有一條與該直線平行的直線。
1.2. 平麵上任何兩條直線具有且僅具有三個關係之一：重合，平行和相交。

2.兩條射線間的線段。
設OX, OY 為兩條不重合，不共線的射線，即，角XOY != 0度或180度。點X1，X2位於OX上，點Y1，Y2位於OY上，則
2.1. X1，X2重合，Y1，Y2重合，即，OX1 = OX2，OY1 = OY2，即，OX1/OX2 = OY1/OY2 = 1，當且僅當X1Y1與X2Y2重合。
因為任意兩個點可以通過且僅可以通過一條直線。
2.2. X1，X2重合，Y1，Y2不重合，即，OX1 = OX2，OY1 != OY2，即，OX1/OX2 = 1， OY1/OY2 != 1，當且僅當X1Y1與X2Y2相交於X1(X2)重合點。
不言而喻，隻是強調一下。
2.3. 如果X1，X2不重合，Y1，Y2不重合，即，OX1 != OX2，OY1 != OY2，則
2.3.1. OX1/OX2 = OY1/OY2 != 1 當且僅當 X1Y1與X2Y2平行。
2.3.2. OX1/OX2 2.3.3. OX1/OX2 顯而易見，證明從略。

3.三條射線間的三角形。即本題。
設OA, OB 和OC為三條不重合，不共線的射線，即，角AOB != 0度或180度，角BOC != 0度或180度和角COA != 0度或180度。點A1，A2位於OA上，點B1，B2位於OB上，點C1，C2位於OC上，則
3.1. 若(A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2)三對點全重合，則根據2.1，三角形A1B1C1和A2B2C2 三邊全重合，這與本題條件不符，此種情況不予考慮。
3.2. (A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2)三對點中，若有兩對重合，則根據2.1，三角形A1B1C1和A2B2C2 就有一對相應的邊重合，這與本題條件不符，此種情況不予考慮。
3.3. (A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2)三對點中，若僅有一對重合，比如A1，A2重合，則根據2.2，A1B1與A2B2的交點P位於A1(A2)重合點，A1C1與A2C2的交點Q也位於A1(A2)重合點。即，P, Q重合於一點，所以P, Q,和R實際上隻是兩點，它們一定是共線的。
3.4. 若(A1，A2)，(B1，B2) 和 (C1，C2) 三對點全不重合；即，OA1 != OA2，OB1 != OB2，OC1 != OC2；即，OA1/OA2 != 1，OB1/OB2 != 1，OC1/OC2 != 1；
3.4.1. 若OA1/OA2，OB1/OB2，OC1/OC2三個比例中，有任何兩個相等，則根據2.3.1，三角形A1B1C1和A2B2C2 就有一對相應的邊平行，這與本題條件不符，此種情況不予考慮。
3.4.2. 若OA1/OA2，OB1/OB2，OC1/OC2三個比例全不相等，不失為一般性，可設OA1/OA2 從符號順序角度，隻存在四種可能情況：
1）OA1/OA2 2）OA1/OA2 3）OA1/OA2 4）1 但如果把三角形A1B1C1和A2B2C2 調換一下，實質上，非符號上，情況3）就是情況2），情況4）就是情況1）。因此，隻考慮情況1）和情況2）即可。

在下麵本質性的證明過程中，一係列中間過渡結論被推導出來，用符號“[i]”依推導順序跟隨其後，i為正整數。這些結輪在後來被引用時，符號“[i]”又出現作為前導。這樣作的目的在於便於查找。

3.4.2.1. 如果OA1/OA2 因為A1B1與A2B2相交於P點，所以，B1位於A1P之間[1]，B2位於A2P之間[2]。
因為B1C1與B2C2相交於R點，所以，B1位於C1R之間[3]，B2位於C2R之間[4]。
因為A1C1與A2C2相交於Q點, 所以，C1位於A1Q之間[5]，C2位於A2Q之間[6]。
通過B1作A3B1 || A2B2[7]而交OA於A3，通過B1作B1C3 || B2C2[8]而交OC於C3，連接A3，C3，得三角形A3B1C3。
根據2.3.1，OA3/OA2 = OB1/OB2 != 1[9]； OB1/OB2 = OC3/OC2 != 1[10]。所以，OA3/OA2 = OC3/OC2 != 1[11]。再根據2.3.1，A3C3 || A2C2[12]。
因為OA1/OA2 因為OC1/OC2 因為[12]A3C3 || A2C2，A1C1與A2C2相交於Q點, 所以A1C1與A3C3也相交，令交點為Q3。則A1，C1，Q3，Q共線[15]。因為OA1/OA2 在三角形A1A2P中，[13]A3位於A1A2之間，[1]B1位於A1P之間，[2]B2位於A2P之間，並且[7]A3B1 || A2B2P，根據2.3.1，A1A3/A1A2 = A1B1/A1P != 1。
在三角形A1A2Q中，[13]A3位於A1A2之間，[15]Q3位於A1Q之上，[6]C2位於A2Q之間，並且[12][17] A3C3Q3|| [6]A2C2Q，根據2.3.1，A1A3/A1A2 = A1Q3/A1Q != 1。
結果，A1B1/A1P = A1Q3/A1Q != 1。在三角形A1PQ中，[1]B1位於A1P之間，[15]Q3位於A1Q之上，根據2.3.1，B1Q3 || PQ。
類似平行地，在三角形C1C2R中，[14]C3位於C1C2之間，[3]B1位於C1R之間，[4]B2位於C2R之間，並且[8]B1C3 || RB2C2，根據2.3.1，C1C3/C1C2 = C1B1/C1R != 1。
在三角形C1C2Q中，[14]C3位於C1C2之間，[15]Q3位於C1Q之上，[6]C2位於A2Q之間，並且[12][17] A3C3Q3|| [6]A2C2Q，根據2.3.1，C1C3/C1C2 = C1Q3/C1Q != 1。
結果，C1B1/C1R = C1Q3/C1Q != 1。在三角形C1RQ中，[3]B1位於C1R之間，[15]Q3位於C1Q之上，根據2.3.1，B1Q3 || RQ。
根據平行公理，通過直線B1Q3外一點Q，有且僅有一條與直線B1Q3平行的直線，因此，PQ和RQ 是同一條直線。也就是說，P, Q,和R共線。

圖置於此。
3.4.2.2. 如果OA1/OA2 A1B1與A2B2相交於P點，位於A1B1之間及A2B2之間；
B1C1與B2C2相交於R點，位於B1C1之間及B2C2之間；
根據2.3.2，A1C1與A2C2相交於Q點, C1位於A1Q的之間，C2位於A2Q的之間。
…（未完待續）
證明畢。