有關《微積分》和《數學分析》

有關《微積分》和《數學分析》

蔣聞銘

 

牛頓萊布尼茨發明的微積分，就是現在美國大學裏大家都學的Calculus， 兩百多年內，沒有嚴格的理論基礎，一筆糊塗賬。這個嚴格的數學基礎，直到十九世紀中葉才有。數學分析這門課，講的是 Karl Weierstrass建立的分析語言和理論。在他之前，隻有微積分，沒有varepsilon-delta 語言。說沒有Weierstrass，就沒有嚴格的數學，不算過分。

 

學微積分，不需要學Weierstrass引進的分析語言，所以怎麽學，也成不了數學家。要成為數學家，必須係統地學這一套分析語言。這個課在中國隻有數學係有，是大學一年級數學專業的課。叫《數學分析》，其它理工科專業，都不教不學，和《微積分》這門課，天壤之別。美國的數學專業，四年級才學，課程名稱叫《實分析》（real analysis）。不過在美國，《real analysis》這個名稱，也用在研究生的課上，內容講測度論，相應與中國大學三年級數學專業學的《實變函數論》。

 

美國大學四年級的《real analysis》，對應於中國的《數學分析》；研究生的《real analysis》，對應於中國的《實變函數論》

 

這是有關Weierstrass的鏈接。這個名字，在Calculus（微積分）這門課裏，一般都不會出現。

Karl Weierstrass

所有跟帖： 

• 你這就不對了是坐井觀天。許多數學要求高的專業比如物理學的微積分課程（哪怕叫高等數學）也不同層次的有你說的 那些內容 -rmny- ♂ (174 bytes) () 12/03/2025 postreply 15:48:15

• 您聽說過什麽叫專業訓練嗎？ -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:14:10

• 嚴格的講沒關係，沒經過專業訓練跨專業作出貢獻的有的是 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:16:44

• 拉馬努金也有自學的成分 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:19:43

• 慶幸牛頓和萊布尼茲的微積分沒有被數學家打倒。 -不開竅- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:07:11

• 至少說明解決實際問題有方法就行了，嚴謹的數學證明隻是滯後的馬後炮而已 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:25:03

• 您就胡說八道吧。：） -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:38:58

• 你看看藥物開發裏多少生物統計學家是學生物妞轉行的，她們有幾個懂測度論和波雷爾集合的 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:42:54

• 說得也是哈。：） -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:04:56

• 學沒學過變分法？ -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:11:49

• 您是問我學過沒學過變分法？ -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:18:28

• Yes -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:19:33

• 沒修一門課來學。不過變分法 我是專家。：） -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:55:54

• 極限的 epsion-delta 定義由Weierstrass完成，思路來自柯西 -槍迷球迷- ♂ (155 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:29:06

• 自然。數學分析就是這兩個人。 -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:38:21

• 人家洛比達不也名垂青史了麽？人家找的是槍手 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 16:46:24

• 跟這兩位可沒法比。算是留了個名，跟名垂青史差很遠。這兩位是真正的名垂青史。 -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:17:18

• 知道洛必達的人可能更多 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:20:17

• 牛頓和萊布尼茨也是有證明的，基於幾何，不嚴密，但不能說是“糊塗帳” -晚春就是牛- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:26:12

• 中學學微積分時沒有嚴格定義極限，極限就是離那裏越來越近（approach)，還沒想道這說法不嚴謹 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 17:36:34

• 高中時學微積分，老師已經用epsilon-delta語言來定義極限，那時已經會用該語言做一些簡單的極限證明。 -方外居士- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 18:07:17

• 兩百年沒有嚴格的基礎，發展到後來，就成了一筆糊塗帳。比如是1+2+4+8+…. =-1，不少人認為是對的。：） -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 18:00:43

• 連馬克思這樣的業餘愛好者，都在教導數學家無窮小是客觀存在之類。 -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 18:03:18

• 拉馬努金說自然數之和等於負12分之1 -rmny- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 18:48:33

• 所以說到了那個時候是一筆糊塗賬。 -蔣聞銘- ♂ (0 bytes) () 12/03/2025 postreply 19:02:36

• 我上大學的時候，發到手裏的是樊映川，老師講的是複旦數學分析 -nnndayd- ♂ (0 bytes) () 12/04/2025 postreply 03:04:40