歐拉三公式

來源: dy31 於 2016-02-06 11:02:21 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀：次 (9377 bytes)

數學史上，歐拉（Leonhard Eule, 1707-1783）是最多產，最傳奇的數學家，沒有之一。

瑞士的巴塞爾(Basel, Switzerland)是萊茵河畔一座美麗城市。300年前，這座城裏有一數學世家，就是伯努利家族(Bernolli). 伯努利兄弟幾人都是鼎鼎大名的世界級數學家。這時，城裏降生了一位未來的數學巨匠---歐拉。

青年的歐拉，聰明勤奮，博聞強記，凡事過目不忘。13歲他進入巴塞爾大學，拜師約翰.伯努利(Johann Bernolli)門下。16歲碩士畢業。從此，歐拉的研究成果就如“井噴”般一個接一個的出現在世界上。歐拉是幸運的，上帝賜他超人的天賦；歐拉又是不幸的，他青年時就失去一隻眼睛，64歲雙目失明。然而，無論是青年，中年，還是老年；無論是健全，還是變成盲人；他的成果，源源不斷，無論數量，還是質量，絲毫不減，令人驚歎。鞠躬盡瘁，死而後已，說的正是歐拉。

這篇小小的科普文章，本人選了歐拉的三個公式。通過它們，一起來欣賞與體會，歐拉出神入化的洞察力，精巧的構思，不拘一格的解決問題的能力，和簡潔漂亮的結果。

歐拉第一公式 (Euler’s Identity，1748年)

e^ix = cos x + i sin x

這裏，i 是複數， i² = -1。

特別地，讓 x = π, 那麽，上麵公式就變為：

e^iπ + 1 = 0

這公式被稱為最漂亮的公式，因為它簡單，更因為它給出了世界上最重要的五個數的關係： 0 代表著加法的中心，1代表乘法的中心，i代表著複數的出發點，e 代表著微積分的平衡點，π代表著幾何。

我們看看歐拉是怎麽發現的這公式的：1748年的一天，歐拉玩著下麵幾個泰勒級數 (Taylor Series)

他忽發奇想，在 e^x的泰勒級數中，把實變量x換成ix 會怎麽樣呢？它變成下麵這樣子：

整理重組一下，

比較上麵sinx 和cosx 的泰勒級數，這就得到了歐拉第一公式。

歐拉第二公式 （The Basel Problem 1734年）

1644年，一位意大利數學家Mengoli 提了這麽一個問題：

之後的九十年間，許多世界級數學家嚐試解決這個問題，包括微積分發明人之一的萊布尼茲(Leibnitz), 伯努利兄弟們。他們隻能計算一些近似值，完全不知道怎樣去找精確解。經過許多次失敗，歐拉的師叔賈可比. 伯努利(Jakob Bernoulli)對數學界懇求：“各位同事，各位高人，如果有人能發現這個問題的解，並且告訴我們，將不勝感激。”因此，這個問題稱之為巴塞爾問題。

還真有高人。不是別人，正是他的師侄歐拉。1734年，28歲的歐拉找到了答案。閱讀歐拉的工作，不僅驚訝於結果的精美，更驚訝方法的巧妙別致卻並不複雜，人們不禁會說：“看上去沒那麽難，我也應該可以做出來，可是為什麽就是沒有想到呢？”

讓我們看看歐拉怎麽解決這個問題的吧。重溫一下我們在前麵見到的泰勒級數：

我們把它看作無窮項的多項式，它的所有零點是：x=0,±π,±2π,±3π,…. 根據多項式根與因式分解的關係，有下麵的式子：

所以，

比較兩邊展開式 x³的係數，

稍作簡化就得到歐拉第二公式。

歐拉第三公式 （1737年）

其實這公式一點都沒錯。我們先從最簡單的無窮幾何級數開始：

對它兩邊求導數，

賦值x = -1, 那麽，

設 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ….;

2S = 2 + 4 + 6 + 8…..;

所以，

S - 2*2S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…

根據 (***),

這就得到了歐拉第三公式。

如果你受過嚴格的數學訓練，一定會說：“錯了！ x 不可以等於-1，因為級數在那裏是發散的。”然而，歐拉畢竟是歐拉，他知道怎樣讓思想自由地衝破理論的束縛去發現世界的奧秘。當然，這個公式是可以用嚴格的數學方法推導證明的，這就要用到歐拉首先發現的著名的歐拉-黎曼(Bernhard Riemann, 1826 – 1866) zeta 函數：