費馬三定理

 四百年前，有位法國律師叫費馬 (Pierre de Fermat)。 四百年後，費馬被後人紀念的不是他法律成就，而是他的數學傳奇，尤其那稱作“費馬大定理”(Fermat’s last theorem)的故事，成為數學史上驚心動魄的篇章。

曾經以為律師都是數學白癡。費律師的事跡告訴我們，千萬不要有偏見，曆史常常成就許多不可能。

費馬的定理都很精美雅致，如一件件藝術品。可惜費先生不習慣把定理的證明寫下來，因此我們讀到的證明都是後人所作。

先看看費馬小定理  (Fermat’s little theorem)。

 
費馬小定理  假設p是素數，a是整數，a不被p整除。那麽，a ^p−1  (a的p-1次方) 被p除的餘數是1。

 這個定理是費律師在1640年發現的。而第一個公開發表的證明卻是九十六年之後，1736年歐拉(Leonhard Euler)的證明。

 證明很漂亮很簡單，至多用到了初中數學知識，給大家分享一下：

考慮 p-1 個數, a, 2a, 3a, …, (p-1)a; 
這 p-1 個數被 p 除後的餘數是互不相同的，所以這p-1個不同餘數是 1，2，3，…,p-1 的一個排列。
因此它們的乘積  a*2a*…*(p-1)a  = (p-1)! * a ^p−1   被 p 除的餘數，
與乘積 1*2*3*…*(p-1)  =  (p-1)!  被 p 除的餘數相同。
因此 (p-1)! * a ^p−1 – (p-1)!  被 p 整除。
因為 (p-1)! 不含素因子  p,  所以 a ^p−1-1 是 p 的倍數。
這就證明了a ^p−1  被p除的餘數是1。

 另一個有意思的結果是費馬平方和定理 (Fermat’s theorem on sums of two squares)，我稱之為費馬中定理。

1640年的某一天，費律師玩著數字遊戲：
  5 = 1² + 2²
 13 = 2² + 3²
 17 = 1² + 4²
 ......
 ......
靈感告訴他這裏隱藏著秘密，於是仔細搜尋，他終於發現了規律：5， 13，17， …被4 除都餘1， 而它們也都可以分解成兩個整數的平方和。在這年的聖誕節寫給朋友的信中，他宣稱發現並證明了下麵的定理。這定理也稱作費馬聖誕節定理。

費馬中定理  （Fermat’s Christmas Theorem） 如果素數 p 被 4 除餘 1， 則 p 可以寫成兩個整數的平方和。

可惜，費律師這次又沒有發表證明。等了一百年，還是那位歐拉先生在1747年發表了證明。歐大師的證明隻用到了現代高中數學知識，感興趣的朋友可查詢下麵網頁。
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

 費馬不斷給數學帶來驚喜，也不斷帶來麻煩。有一天，費律師讀著小說，又來了靈感。於是，在書的空白處寫下一個新定理， 這就是著名的費馬大定理 (Fermat’s last theorem).  他繼續寫道：“我發現一個絕妙的證明，可惜書頁已經滿了寫不下了。”

 費馬大定理   整數 n > 2; 整數 x, y, z 非零。那麽，方程   無整數解。

 人們想著費律師不提供證明沒關係，100年後歐大師一定會證明的。 果然，一百年後，歐大師證明了費馬小定理，歐大師也證明了費馬中定理；但是，歐大師卻沒有證明費馬大定理。

 過了二百五十年。20世紀初，在德國哥廷根（Gottingen）大學， 有一位年輕的猶太裔數學家閔可夫斯基 (Hermann Minkowski), 就是那位給出愛因斯坦相對論中4維時空度量的閔可夫斯基。有一天，在講堂上，他問學生們：“二百五十年過去了，費馬大定理還沒被證明， 你們知道為什麽嗎？” 看著學生們困惑的樣子，他繼續說：“不是因為問題難，而是因為沒有第一流數學家嚐試去證明它。 現在我就證明給你們看”。説完，他在黑板上開始了證明。下課鈴響了，還沒證完。他看了看學生們，說：“下堂課我們繼續證。” 一堂課接著一堂課，一黑板連著一黑板地寫著，閔教授在同學們麵前努力地證明著。一個月過去了，還沒有證完。終於閔教授無奈地歎口氣，說“不證了。下節課開始正常上課。”

又過了八十年左右，到20世紀末，普林斯頓大學教授Andrew Wiles, 幾經磨難，最終徹底證明了費馬大定理。

依然有一個謎，Wiles教授的證明絕對不是費律師的那個絕妙的證明。那麽，那個“絕妙的證明”又是什麽呢？

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多謝介紹，有點意思