歐拉三公式

數學史上，歐拉（Leonhard Eule, 1707-1783）是最多產，最傳奇的數學家，沒有之一。

瑞士的巴塞爾(Basel,  Switzerland), 這座萊茵河畔美麗城市, 曾經孕育過許多數學奇才。300年前，城裏有一數學世家，就是伯努利家族(Bernoulli). 伯努利兄弟幾人都是鼎鼎大名的世界級數學家。1707年，數學巨匠歐拉也在這裏誕生了。

少年的歐拉，聰明勤奮，博聞強記，凡事過目不忘。13歲他進入巴塞爾大學，拜師約翰.伯努利(Johann Bernoulli)門下。16歲碩士畢業。從此，歐拉的研究成果就如“井噴”般一個接一個的出現在世界上。歐拉是幸運的，上帝賜他超人的天賦；歐拉又是不幸的，他青年時就失去一隻眼睛，64歲雙目失明。然而，無論是青年，中年，還是老年；無論是健全，還是變成盲人；他的成果，源源不斷，數量質量，絲毫不減，令人驚歎。鞠躬盡瘁，死而後已，說的正是歐拉。

   這篇科普短文，本人選了歐拉的三個公式。通過它們，一起來欣賞與體會，歐拉出神入化的洞察力，精巧的構思，不拘一格的解決問題的能力，和簡潔漂亮的結果。

歐拉第一公式   (Euler's Identity，1748年)      

  e^ix = cos x + i sin x

這裏，i 是複數， i²  = -1。

特別地，讓  x = π, 那麽，上麵公式就變為：

   e^iπ +  1 = 0

這公式被稱為最漂亮的公式，因為它簡單，更因為它給出了世界上最重要的五個數的關係： 0 代表著加法的中心，1代表乘法的中心，i代表著複數的出發點，e 代表著微積分的平衡點，π代表著幾何。

我們看看歐拉是怎麽發現這公式的：1748年的一天，歐拉玩著下麵幾個泰勒級數  (Taylor  Series) 

他忽發奇想，在 e^x 的泰勒級數中，把實變量x換成ix 會怎麽樣呢？ 它變成下麵這樣子： 

 

整理重組一下，

 

比較上麵sinx 和cosx 的泰勒級數，這就得到了歐拉第一公式。

 

歐拉第二公式 （The Basel Problem  1734年）

1644年，一位意大利數學家Mengoli 提了這麽一個問題：

  

之後的九十年間，許多世界級數學家嚐試解決這個問題，包括微積分發明人之一的萊布尼茲(Leibnitz),  伯努利兄弟們。他們隻能計算一些近似值，完全不知道怎樣去發現精確解。經過許多次失敗，歐拉的師伯賈可比. 伯努利(Jacob Bernoulli)在巴塞爾對數學界懇求：“各位同事，各位高人，如果誰能發現這個問題的解，請告訴我們，將不勝感激。”因此，這個問題稱之為巴塞爾問題。

   還真有高人。不是別人，正是“伯家軍”新秀歐拉。1734年，28歲的歐拉找到了答案。閱讀歐拉的工作，不僅驚訝於結果的精美，更驚訝方法雖巧妙別致卻並不複雜，人們不禁會說：“看上去沒那麽難，我也應該可以做出來，可是為什麽就是沒有想到呢？”

讓我們看看歐拉怎麽解決這個問題的吧。重溫一下我們在前麵見到的泰勒級數：

我們把它看作無窮項的多項式，它的所有零點是：x=0,±π,±2π,±3π,….   根據多項式根與因式分解的關係，有下麵的式子：

所以，

比較兩邊展開式 x³ 的係數，

稍作簡化就得到歐拉第二公式。

 

歐拉第三公式   （1737年）

看到這個公式，你們也許以為我筆誤了。其實這公式一點都沒錯。我們先從最簡單的無窮幾何級數開始：

對它兩邊求導數，

賦值 x = -1,  那麽，

 

 

 

 

 

 

根據 上麵公式 (***),   

          

這就得到了歐拉第三公式。

如果你受過嚴格的數學訓練，一定會說：“錯了！ x 不可以等於-1，因為級數在那裏是發散的。”然而， 歐拉畢竟是歐拉，他知道怎樣讓思想自由地衝破理論的束縛去發現世界的奧秘。當然，這個公式是可以用嚴格的數學方法推導證明的，這就要用到歐拉首先發現的著名的歐拉-黎曼(Bernhard Riemann, 1826 – 1866) zeta 函數：

這個函數隻在 s>1  時收斂。然而，歐拉將它光滑地延拓到實數軸上，後來黎曼將它延拓到複數平麵。延拓後，

這就是上麵的歐拉第三公式。

 這古怪的公式到底有什麽用呢？物理學玻色子弦理論 (Bosonic  String Theory) 用歐拉第三公式計算出宇宙時空的維數是26  (25維空間加1維時間 )。如果引入超對稱(supersymmetry), 時空的維數將減少至10維 (9維空間加1維時間 )。

歐拉的時代已經過去兩百多年了。現在，人們關注的是瑞士的達沃斯(Davos), 那裏常常政要雲集，才俊匯聚，光彩眩目一時。永恒的，卻是200多公裏外的巴塞爾所飄出的歐拉之氣息，激勵著一代代探索者。