科學的新數學之美（2）
八大行星的赤道直徑、體積和表麵積的正反合一
知道怎麽做餃子會對理解下麵的數學過程有幫助。
把四顆氣體行星（木星、土星、天王星、海王星）的體積想象成四團包餃子的麵疙瘩，然後把它們揉在一起成為一個大麵團。這個大麵團的體積是e^pi (自然對數底數的圓周率次方) x 10^14 公裏立方。誤差是 -3.251%。
把四顆岩體行星（水星、金星、地球、火星）的體積也想象成四團包餃子的麵疙瘩，然後把它們揉在一起成為另一個大麵團。這個大麵團的體積是e^pi (自然對數底數的圓周率次方) x 10^11 公裏立方。誤差是 3.392%。
上麵的兩個結果表明，造四顆氣體行星體積和造四顆岩體行星體積時，施工用的是同一模具的藍圖。要麽是用了不同的比例尺， 要麽是人的視覺有偏差。
大家可能會覺得體積計算的誤差比赤道直徑計算的誤差高而有疑問。如果把原因搞清楚，就會覺得它們都是高精度的結果。行星的赤道直徑基本上是測量出來的，人為的誤差相對小。行星的體積是個計算量，在計算過程中行星被假設為一個完美的數學橢球體，故3~4%的誤差已是很高的精度。天文觀測應在測量精度上下些功夫，把體積的值改進得更準確些。
接下來把行星赤道直徑的和乘上行星體積的和，並稱此積中的一個純數字為正幾何量：
（pi^pi ）x （e^pi ） (1)
公式（1）與實際的乘積之間差 一個10的整數次方。 這不影響結論的正確性。
一顆行星的表麵積就像一個橘子的橘皮，四顆行星表麵積之和就類似於把四個橘子的橘皮加起來。與前麵的直徑之和及體積之和一樣，四顆氣體行星的表麵積之和與四顆岩體行星的表麵積之和有一個統一的表達式：
10^n/（pi^pi x e^pi ） (公裏平方) (2)
n=14 – 氣體行星 (誤差： -1.026%) n=12 – 岩石行星 (誤差： -0.363%)
公式（2）的誤差源與體積計算的誤差源相同。公式（2）中的純數字
1/（pi^pi x e^pi） (3)
稱為反幾何量。對比公式（1）和（3）， 可得一個結果：
正幾何量 x 反幾何量 = 1 (4)
公式（4）意義稱為正反合一，與中國古文化中的陰陽相輔同承一脈。把公式（4）轉換成有物理意義的一個方程
赤道直徑之和 x 體積之和 x 表麵積之和 = 10^m (5)
其中m是個整數。它的大小取決於公式中的值從哪個行星群(氣體還是岩體)中選取。歡迎大家算一算各種情況下公式（5）的誤差。
行星的表麵積需要自己算。行星的體積在美國航天局的網站上可查到：http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/
這個題目還有不少有趣的研究可做，搞對了還有可能去《科學》或《自然》過把癮，給大夥在茶餘飯後添點談資。
