怎樣停車

你是怎樣將車停到與該車平行的車位？ 一般的步驟是：1) 將車向前平移(T)；2) 將
車旋轉一角度(R)；3) 將車向後平移(-T)；4) 將車反方向旋轉一角度(-R)。也就是，
(T)(R)(-T)(-R)。從代數的角度來說，這是一係列群操作。並且該群是交換群(ABEL群
)，即對於任何群元素A，B，AB = BA。於是我們可以得到：(T)(R)(-T)(-R) = (T)(-T)(
R)(-R) = I。此處I是單位元素。也就是說，通過上述操作我們可以將車停到與該車
平行的車位。

車子的運動是剛體平麵運動。剛體平麵運動有三個自由度。但車子隻有兩個自由度
(一個移動和一個轉動)。從力學的角度來說，車子是非完整運動係統。即它受到一
個非完整約束。而這個約束是不能完全積分。可以證明，車子作無窮小側向移動是
不可能的。(我們可以設計車子有側向移動，這樣可以使平行停車很容易，但車子也
就變成不安全。)

再從代數的角度來說，我們可以通過求車子運動方程的矢量場的“李括號”來確定
車子“第三個自由度”的運動。李群是一種連續群(拓樸群)，粗淺地講，一係列連
續的座標變換就構成李群。對李群元素求導數就得到矢量(速度)場。這個矢量場有
矢量加法和矢量乘法，它們構成李代數。李括號就是李代數中的矢量乘法，它和一
般矢量運算中的矢量叉乘有點相似。

在日常生活中我們會看到一些非完整運動係統。溜冰運動就是。又如將貓從空中背
朝下放下，貓會在空中轉身然後四足著地(落貓運動)。貓的運動就是非完整運動。

應用上述原理，人們設計各種非完整運動器械。非完整運動器械可以節省作動器和
增加動態響應。比如少於6個作動器的機器人可以與6個作動器的機器人功能一樣。
人造衛星的姿態調整也可以用少於3個作動器來完成。而空間站的機械手運動和控製
的研究與“落貓運動”的研究也有許多相似之處。