隨筆
隨筆，聊天
在自然界有許多極值(最小值)現象。比如，荷葉上的水珠的表麵積最小(在相同體積
下)。光線從境麵反射，其真實路徑時間最短(費馬變分原理)。我們可以用求導數方
法求極值。對於更複雜的極值問題可以用變分法來解。歐拉用變分法解決了“最速
降落線問題”。考慮一物體從高處A點沿AB之間軌跡運動至低處B點。AB之間有一組
軌跡(函數)。問題是哪一個函數使運動時間最短？答案是擺線。用積分來計算該運
動的時間(這個積分稱為泛函，它是函數的函數，因為它的自變量是一組函數)。然
後用變分法求泛函極值就得到答案。變分的運算和微分相同，隻是微分是真實位移
而變分是虛擬位移。
人們逐漸發現許多真實運動(或狀態)總是使某個泛函取最小值。這就是變分原理。
比如赫茲變分原理：在有約束的運動中，真實運動軌跡的曲率最小。如將鋼珠放在
球麵上，它將沿著球的大圓運動。又如從哈密頓變分原理可以導出拉格朗日方程。
這顯示了泛函(積分)與運動微分方程之間的關係。因此，在求得一些物理現象的數
理方程時，先確定它的哈密頓量H或拉格朗日量L。量子理論中，薛氏方程可以由HJE方
程推出；而Higgs 粒子(上帝粒子)的研究也是從 Higgs 場的拉格朗日量L開始。
在計算數學中，求積分的算法比求微分方程的算法穩定。因此人們往往將求解微分
方程轉換為求泛函極值問題，然後用積分算法(如有限元法)求泛函極值，進而解出
微分方程。
在許多學科中，比如牛頓力學，流體力學，彈性力學，電動力學，廣義相對論(希爾
伯特變分原理)，等等，都存在變分原理。所以人們認為，“自然的行為(或狀態)是
最經濟的”。
早期人們探討變分原理是想找到普適的自然規律。依此證明上帝存在以及證明上帝
創造我們這個世界是所有“世界”中最優的。事實上，變分原理隻是一些自然規律
(如牛頓定律，能量守恒定律等)的推廣，並不適用於任何情況。比如它不能用於不
可逆過程(如熱力學)。
人們的思維也存在經濟或不經濟的問題。比如有幾種定律(或理論)描述(或解釋)同一
現象，往往最簡單的定律(或理論)是正確的。因為它符合思維經濟“原則”。曆史
上，托勒枚的地球中心說也能解釋當時發現的所有天文現象。隻是每當發現新的天
文現象，他必須在他的“本輪係統”上加上新的“本輪”來解釋新的現象。結果他
的“本輪係統”很複雜。哥白尼的太陽中心說簡單明了，隻用了幾條假設就能解釋
當時發現的所有天文現象。當時太陽中心說並不比地球中心說正確。但是人們趨向
於承認太陽中心說，因為它符合思維經濟“原則”。
（注: 從天文學史來看，地心說支持者認為：隻有地球有衛星，所以。。。 但而後伽利略發現，木星也有衛星以及金星運動有相位變換，使日心說得以成立。）
愛因斯坦擯棄冗餘的“以太”概念提出相對論，也可以認為符合思維經濟“原則”。但是，思維經濟“原則”隻是啟發式原則，它不能代替邏輯推理等。
