閑聊拓撲學

有人認為拓撲學是最抽象的數學，拓撲空間是最一般的數學空間。對於搞數學的人，
越抽象越有意思，數學中有詩一般的境界。拓撲學盡管抽象，但與我們日常生活所
遇到一些事情還是有關。如，它能解釋為什麽每個人的頭發至少有一個頭頂(任何在
球麵上的矢量場必有奇點)；它能解釋中學物理課學的“重力做功與路徑無關”(勢
函數的拓撲性質)。它也能解決一些智力遊戲問題，如“等長指針的手表”問題等。
本文想通俗地介紹一些拓撲學基本概念。

1。同胚

設有一個開區間：X = (-1，1)。另有一個映射函數：f(x) = tan(pi*x/2) 。式中，
pi 是圓周率；tan 是正切函數。這個函數將開區間X 映射到整個實數數軸 R。這映
射是一一對應雙向連續變換。這就是拓樸變換。開區間X 和實數數軸 R具有相同拓
樸。因此它們是同胚的。這裏可以看出，長度不是拓樸特性因為開區間X 和實數軸
 R有不同的長度；有界性也不是拓樸特性因為開區間X有界而實數軸 R無界。連續性
是事物的一種特性，而連接性是事物的拓樸特性。你不可能通過拓樸變換將本來連
在一起東西分開。另一個拓樸特性是緊致性。所謂緊致性，簡單地說，在一個點集
中如果所有序列的極限都在該點集中，這點集是緊致的。比如有一個半開區間：X1 
= [0，1)，可以通過映射函數：f(x) = (cos2pi*x, sin2pi*x), 映射到單位圓C。
式中，pi 是圓周率。但是X1和C不是同胚，就是說，它們具有不同拓樸。在X1中刪
去一個點，X1就變成兩段；而在C中刪去一個點，C仍然連在一起。原因是：X1不緊
致；X1右端的極限值1並不屬於該區間。而C是緊致的。
所舉例子屬於一般拓撲學(點集拓撲學)。
所謂不同拓撲是指不能用拓撲變換將一個對象完全影射到另一個對象。如，環麵與
球麵有不同拓樸，即，你不能用所有變形方法把球麵捏成環麵除非你把球麵撕裂。

2。同倫

一個圓環麵可以由兩個發生器形成。即一個小圓(一個發生器A)的圓心沿一個大圓(另
一個發生器B)繞一圈而形成。在圓環麵上一個點可以畫出很多種封閉環。比如，取
一個基點C可以畫出一個既不繞發生器A，又不繞發生器B的封閉環。通過基點C可以
畫出無窮個這種類型的封閉環。在這些封閉環中每一個封閉環都可以通過一個拓樸
變換，即同倫變換，變成另一個封閉環。所有這些封閉環組成一同倫類。而這些同
倫變換組成一基本群。又如，取一個基點D可以畫出一個隻繞發生器A的封閉環。這
些封閉環組成另一同倫類。但是這種同倫類是不可能通過一個拓樸變換變成前麵一
種同倫類，他們是不同的同倫類。

3。同調

用同倫變換處理高維圖形會遇到困難。於是人們發展同調變換。通俗地講，同調變
換是一種求邊界的變換。即對高維圖形求邊界而得到低維的輪廓圖形。比如，對圓
盤作同調變換H，可以得到圓。圓是圓盤的邊界。如果這個圓是由兩個端點A和B的兩
段圓弧a和b組成，實際上通過上述同調變換H，得到圓 ( a - b ) (負號表示圓弧b的
方向和圓弧a的方向相反)。再對圓 ( a - b ) 作同調變換，可以得到端點A和B。端
點是圓弧的邊界。

上述內容屬於代數拓撲學。

各種變換(如同倫，同調變換等)以及對圖形作“手術”是拓樸學的重要內容。

將一條長紙帶兩端扭向連接在一起就做成默比烏斯(MOBIUS)帶。默比烏斯帶隻有一
個麵，而且沿中間線將默比烏斯帶分開，仍然隻有一個環(並不能得到兩個環)。默
比烏斯帶也是拓樸學的研究模型。拓撲學中的纖維叢研究與它有關。默比烏斯帶在
實際中有很多應用，與此有關還有許多專利。