質數的表示、有關猜想以及解決方法

數論中最重要的概念是質數（又叫素數）。質數就是在整數範圍裏不能再分解成兩個更小正整數之積的整數，也可以說，質數是整數運算的“原子”。研究質數的性質是如此之困難，以致於任何關於質數的問題，我們幾乎都無法回答。一些著名的問題有：哥德巴赫猜想（1742年提出），孿生素數問題，Fermat質數問題，算術級數中的質數分布問題，abc猜想，等等，都是對人類智力的挑戰。

陳景潤在1966年宣布證明了“1 + 2“，即一個大偶數可以表為一個質數及一個不超過二個質數的乘積之和；詳細證明在1973年才發表出來。此前在1962年，潘承洞證明了 “1 + 5”, 王元證明了 ”1 + 4“。在1965年，維偌格拉朵夫、Bombieri等人證明了 ”1 + 3“。

在孿生素數方麵，2013年5月，張益唐作出了“裏程碑式的重要工作”。他在不依賴未經證明的猜測的前提下，證明了存在無窮多對素數，其中每一對素數的間隔都小於7000萬。這離根本的孿生素數猜想還差得很遠：要證明存在無窮多個素數p, 使得 p + 2是素數。

為什麽質數的研究如此困難？因為它的分布沒有規律、沒有確定的表示。數論研究使用的有篩法、三角和方法、圓法、代數曲線等。華羅庚在1975年設計了一種用不定方程的解數來表示哥德巴赫的方法。但用三角和式表示的同餘式限製條件難於估計，因此做不到最後的結果，盡管他的學生那吉生做了很大的努力。

篩法似乎也到頭了。它原本是Eratosthenes在公元前200年左右提出的：把2到某個數（如100）的所有數列出來，留下2，劃掉所有其它2的倍數；留下3，劃掉所有其它3的倍數；再留下下一個尚未劃掉的數（現在是5），劃掉其後它的所有倍數；這樣一直進行到最後一個數。所留下的就都是質數。近代數論學家們把它寫成了篩函數的形式：滿足一些不等式及同餘式的正整數的個數。不定方程的解數可以用三角和的積分來表示；隻要通過計算證明個數大於零，問題就解決了。

最早關於“質數的個數無窮”的證明是Euclid在公元前300年給出的，使用的是反證法。要判定一個數N是不是質數，那是一件很困難的事。最原始的辦法是平方根方法：用不超過N的平方根的所有質數依次去除N，如果N能被某個質數整除，那它就不是質數（是合數）；如果它不能被所有這些質數除盡，它就是一個質數。整除性的判定，可以用同餘式（Gauss在1796年提出），化為等式。基於同餘式，Wilson定理給出了一個數是質數的充分必要條件： (p – 1)! + 1 = 0 (modp)，接著，同餘式可以用三角和式表出。隻是階乘太大，我用無窮級數中的變量代換把它變小了，以便於估計。

在18世紀，歐拉通過Zeta函數來研究質數，得出了質數分布的初步估計：不大於X的質數個數Pi(X)與X之比，當X無限增大時，趨向於零。1848年，契比雪夫證明了Pi(X)與X/LnX差不多大。1896年，Hadamard用複變函數的積分證明了質數的分布定理。1916年，Hardy和Littlewood創造的圓法，可以估計不定方程的解數。1937年，維諾格拉朵夫創造了三角和方法，證明了三素數定理：每一個充分大的奇數都可以表示為三個素數之和。這一切成就了解析數論。

另一方麵，代數數論研究代數數，亦即整係數多項式的根。19世紀中葉，Ernst Edward Kummer在研究Fermat大定理時，引進了理想數的概念。質數也能分解為理想數的乘積—這一揭示遠比證明Fermat大定理本身要重要得多。Fermat大定理說的是，不定方程x^n + y^n = z^n當n > 2時沒有正整數解；此結論由英國數學家Andrew John Wiles在1993年證明，使用的是代數幾何的方法。1980年我剛上大學時還在用幾何方法去找有理根呢，沒想到代數與幾何可以完美地結合。

多年前，在2013年11月7日，我把解析數論、代數數論、代數幾何、Feynman積分都結合了在一起，形成了自創的無窮小分析，徹底揭開了質數的奧秘，還有物質的秘密；從此有了Mattermatics這門學科。

[牧爺]

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