數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
化學研究明麵上的物質，包括它們的結構、狀態、化合和變化的規律。“明麵上”指的是人類能夠看得見、摸得著的東西，至於暗物質，概念和理論是有了，但人類還沒有檢測到。化學隻深入到原子核，包括質子和中子，質子是不可再分的。盡管誇克模型早已深入人心，但獨立的誇克誰也沒有見過，更別提虛擬的弦理論了。也許有朝一日人類能夠釋放出誇克，抓住暗物質，實現三級文明—隨心所欲地控製、使用所在星係的能量，如果能出一個牛頓+歐拉合體就好了。
化學研究的內容有：無機化學、有機化學、生物化學。無機化學研究無生命的礦物，有機化學研究組成生命的物質。生物包括動物和植物。生物與礦物其實並沒有本質的區別：德國化學家Friedrich Wohler 在1828年用氰化鉛（Pb(OCN)2加氨（NH3）合成了尿素，前兩種是無機物，後者則是有機物。現代有機化學主要研究碳水化合物，即碳、氫、氧三種元素的化合物；再加上氮、鹵族元素和一些金屬元素，有機物有1300萬種之多，而無機化合物才區區幾十萬種。
地球生命是以碳元素為基礎的，除了CO、CO2、CS2、碳酸鹽、碳酸氫鹽、氰化物之外，含有碳元素的化合物都算有機物。由於氮族元素的複雜多樣性，有人相信也有氮基生命存在。生命具有感知能力，動物還具有意識和情感；再上升到靈魂的層麵，就不是物質的範疇了。生物化學研究的是生物體的物質組成及生物分子的結構與功能，以及物質代謝和調節，還有基因表達和調控。這接近於生物學了，但還沒到精神的程度。一些人信奉的Vitalism是無法量化的，因此也就成不了科學。據說有位醫生測出了一個人的靈魂質量為21克，但沒有人能夠重複他的實驗。
無機化學的研究內容包括：（1）原子的結構。從希臘哲學家Democritus在公元前400年提出 “原子” 的概念後，現代原子理論是John Dalton在1803年提出的。當英國物理學家Joseph John Thomson於1889年發現電子後，他把電子想像為葡萄幹一樣鋪在麵團上。1911年，英國物理學家Ernest Rutherford用Alpha粒子（氦核）轟擊金鉑，想要探索原子內部的結構，結果發現了原子核。Rutherford把原子想像為帶負電的電子如行星般繞著帶正電的原子核運轉。
Rutherford的模型不能解釋這個問題：氫原子有一個質子，氦原子有兩個；它們的質量比應當是1：2，實際上卻是1：4。氦原子核內必定還有其它粒子。1932年，英國物理學家James Chadwick用Alpha粒子轟擊鋇片，一種類似於Gamma射線的高能射線出現了！射線由第三種粒子構成，Chadwick稱之為中子，因為它不帶電。中子的質量比質子略大，近似等於質子質量加電子質量，再加上一個中微子的質量。天文學中對中子星—全部由中子組成的天體--的發現，震撼了人們對物質的認知：中子星的平均密度在3.7×1011至5.9×1011千克每立方厘米之間，也就是水的密度的100萬億倍！黑洞的雛形啊！電子都被壓進了質子裏，生命是沒戲了。
考慮到原子吸收或釋放特定光譜的特性，丹麥物理學家Niels Bohr在1913年提出了一種解釋。他綜合了Planck的量子理論，愛因斯坦的光子理論，以及Rutherford的行星模型。Bohr模型包含三點：電子隻能處於特定的離散軌道中：由核向外，能級依次為E1, E2, E3, …；當一個電子吸收或釋放特定能量（其值等於兩個能級Ei, Ej之差）的光子時，它的軌道發生改變；電子的軌道角動量L=（mV × r）隻能取h/(2π) 的整數倍為值，h是Planck常數。Bohr因此獲得了1922年的Nobel物理獎。
Bohr模型依然不完善。角動量的分布應當更密集、也應當可以取零；根據Schrodinger的電子運動方程，可以計算出軌道角動量的大小為L = h/(2π) × sqrt[L(L+1)] ，L取值0, 1, 2, 3, 4, …n – 1, 並標記為s, p, d, f, g, …，稱之為子殼（Sub-shells）：s電子雲為對稱球狀，p有兩個耳垂（Lobes），d有4個（或者一對加一個Donut圈），f有8個（或者一到兩個Torus圈），g殼尚未見到。運動的電子實為電場，變化的電場又會產生一個磁場；磁場確定一個方向，角動量沿此方向的投影為LB = h/(2π) × ML，ML取值從-L到L，共計2L+1個值。電子還有自旋，按照兩種可能的方向（從磁場方向看，可分為順時針、逆時針方向）。因此，在一個能級n中，一共可以容納 Sigma {2(2L+1): L = 0, 1, …, n-1} = 2n^2個電子。Hund原則給出了電子的排列規則。自此，原子結構完善了。
（2）物質的結構。在所有元素中，隻有六種惰性氣體He, Ne, Ar, Xe, Rn可以以單個原子的形式自然存在, 其它都是以分子或者離子的形式存在。分子是兩個（或多個）相同或者不同的原子通過化學作用力（又稱化學鍵）而組合在一起的穩定結構，其中各原子的數量具有固定的比例。離子就是一個不帶電的、中性原子（或分子）得到或者丟失一個或多個電子所形成的穩定結構。美國化學家Gilbert Newton Lewis (1875-1946) 通過原子的外層電子結構，解釋了原子結合的原因：為了形成一種穩定的結構。當一個原子或單原子離子的外層電子結構等同於一種惰性氣體時最為穩定；對於分子和多原子離子，當電子總數為2[m^2 + n^2] 時，結構最為穩定。
化學鍵可分為離子鍵、共價鍵和金屬鍵。離子鍵是一個陽離子與一個相同電荷數的陰離子之間的相互作用力（離子化合物必須是中性的）。鍵長定義為兩個離子的半徑之和。用庫倫定律可以計算出作用力的大小；也可以用電勢能來衡量鍵的強度。但化學中通常使用格子能（Lattice energy）來衡量一種離子晶體的穩定性：把一摩爾的固體離子化合物轉變為氣態離子所需要的能量。
共價鍵是兩個相同或不同的原子通過共享一到三對電子，或者說是電子雲的重疊，而實現一種穩定的結構。共價化合物僅含有共價鍵。一個原子能夠形成的共價鍵的個數等於子殼中孤電子的個數；比如氫原子隻能形成一個共價鍵。鍵的個數一般以電子數滿8為原則；對於H，2個電子即滿，Helium是4個；但Boron可能隻有6個，在第三個周期或以上的原子，外層電子數可以超過8個，因而在Lewis結構式中，可以有孤電子對，甚至孤電子和空軌道。
共價鍵的鍵長定義為共享電子雲的兩個原子核之間的距離，通常隻有1埃米（10^-10米）。共價作用力的大小沒有式子可表：這既不是電力，也不是引力，人們隻是籠統地覺得，鍵長越長，鍵越不穩定。鍵的強度是用拆散能（Dissociation energy）來衡量的：拆開一摩爾的氣態分子的共價鍵所需要的能量。比如1摩爾的氫氣H2, 要拆開為兩個氫原子，需要436.4 kJ的能量。
在H—H鍵中，兩個電子由兩個氫原子5-5共享：它們花費相同的時間在兩個原子的附近。但在H—F鍵中，鹵族元素F具有更大的電子親和力，電子對會花費更多的時間在氟原子附近。這種共價鍵叫做極性鍵；可以定以極矩（Dipole Moment）: δr，δ是分數電量，r是位移矢量，方向由負極指向正極。H—F鍵的極矩為 1.78。其實，這確實反映了鍵的強度，不過應當改寫為 Kδ^2 r，K為比例係數，這可以從帶電體之間的相互作用力推出，隻是化學家們不知道。
其實，在極性共價鍵與離子鍵之間並沒有嚴格的區別。1932年，美國化學家Linus Carl Pauling，把量子理論用於化學鍵的研究，得出了負電性的概念（為此在1954年獲得Nobel化學獎）。兩個原子A和B之間的負電性之差定義為 Sqrt{E(A-B) – [E(A-A) + E(B-B)]/2}/ sqrt(eV)，其中E(A-B) 是鍵A-B的拆散能，eV是電子伏特。一般認為，當負電性之差大於或等於2.0時，該鍵就是離子鍵，否則就是共價鍵。也有人設定一個百分數來表示電子的轉移程度，純粹的離子鍵，盡管從來就沒有人觀察到，設為100%的離子性，而純粹的共價鍵，隻出現在兩個相同的原子之間，為0%的離子特性。Linus認為，離子特性是連續的，也就是各種電子密度的分享程度都有。
Lewis結構圖並不能完全解釋分子和離子的性質，因為鍵（電子雲）是三維的，於是就有了AOT：Atomic Orbital Theory。外層電子對互斥（Valence Shell Electron-Pair Repulsion）理論假設，各電子對之間的互斥作用應當達到最小。因此，鍵角應當都相等，盡量形成一個正多麵體；如果出現非共享電子對的話，它占的空間應當大一些，因為其中兩個電子的互斥比共享電子對中的電子互斥更強。由此便可大致勾畫出分子和離子的立體結構圖。
VSEPR並沒有解釋化學鍵為什麽存在，也就是電子雲為什麽會重疊。當兩個原子互相靠近時，一個原子的電子層被另一個原子的核所吸引；同時它們的電子層則互相排斥、核也互相排斥。當總的相互作用力達到最小時，結構也就最穩定，相對勢能最小。如果有外力使得原子進一步靠近，則斥力起支配作用，相對勢能陡然增加。按照能量守恒定律，共價鍵的形成過程必然釋放出能量。實驗表明，當氫氣分子H2形成時，有熱量釋放出來。反之，要斷開氫鍵，必須輸入能量到分子中。
Valence Bond理論同時考慮到了勢能的極小性：一個穩定的分子形成於最小的勢能。對於三個或以上原子形成的分子和離子，中心原子的外層各子殼中的電子需要混和，以形成勢均力敵的共享鍵。1931年，Linus Pauling首先發展了原子軌道混合的理論。舉例來說，對於甲烷分子CH4, 碳原子外層的四個電子2s^2 2p^2，p殼中的兩個電子是孤電子，還有一個空軌道。要與4個氫原子結合需要四個鍵；如果兩個H與s軌道的兩個電子共享，則四鍵強弱不一。C隻有把s軌道中的一個電子提升到那個空的p軌道，形成4個sp^3型的混合軌道，才能形成一個穩定的正四麵體結構。原子軌道的混合類型還有：sp如BeCl2, Be的p軌道是空的；Sp^2如BF3, Boron的p軌道有一個孤電子；sp^3 d, sp^3 d^2，取決於原中心原子的d軌道是空的，還是有一個孤電子。
對於雙鍵和三重鍵來說，重疊的軌道可以呈現出兩種形狀。如果兩個電子軌道是頭對頭相重疊，電子雲位於兩個原子核的中間部位，就稱為一個Sigma 鍵；這可以出現在s-s, s-p, p-p的情形。另一種是Pi鍵：兩個電子軌道橫向重疊，電子雲集中於核心連線的上方和下方(分開的兩個區域)。在乙烯C2H4中，兩個碳原子以雙鍵連結。每個碳原子從s軌道提升一個電子道那個空的p軌道，spx中的兩個電子與兩個氫原子結合成為兩個Sigma鍵，兩個C原子的py軌道中的電子形成一個Sigma鍵，而Pz中的兩個電子形成Pi鍵。在乙炔C2H2中，兩個碳原子以一個三重鍵連結。其結構是線性的，每個碳原子的兩個spx混合軌道中的兩個電子，一個與氫原子形成一個Sigma鍵，另一個電子與另一個碳原子的spx軌道形成一個Sigma鍵。其它的兩個py、pz互相垂直方向的電子對，形成兩個Pi鍵。一個雙鍵幾乎總是包含一個Sigma鍵和一個Pi鍵；一個三重鍵總是一個Sigma鍵和兩個Pi鍵。
但是，VBT依然解釋不了一些複雜分子中各鍵的等強度性。在苯分子環中，有六個H-C鍵、三個單的C-C鍵、三個雙的C=C鍵；也就是說，12個sigma鍵、3個Pi鍵。結構圖是平麵的，各個鍵角都是120度；所有的鍵長和強度都是相同的。但是，雙鍵的長度和強度顯然應該不同於單鍵。正確的解釋應當是這樣的：碳原子外層的2個s軌道中的電子有一個提升到原來為空的pz軌道，成為一個非混合的軌道；其它三個電子實現sp^2混合，與一個H原子的s電子形成一個Sigma鍵，再與兩個相鄰的C原子的相應混合軌道形成2個Sigma鍵。在2pz軌道中的6個電子，就非局部化了，形成6個Pi鍵，可以在苯環平麵的上、下自由運動；這六個軌道被稱為分子軌道（MO），隨著時刻的變化，可以6種方式形成3個勁道（Bonding MO）和3個非勁道（Antibonding MO）。
運動的電子都具有波的性質，成對出現的電子會互相幹涉。當軌道中出現建設性（Constructive）幹涉時，位於兩個核心之間的電性密度最大，形成一個穩定的共價鍵（能量最低），稱之為勁道。相反地，出現毀滅性（Destructive）幹涉時，核心之間的電性密度降低到零（溢出到核心之外），結構耗能且不穩定，稱之為非勁道。Sigma和Pi都可以出現勁道與非勁道，與時刻（相對論）有關。要描述電性密度的概率分布，需要用到波函數，其幾何形狀遠非Sigma或Pi那麽簡單。
再看看簡單的氧氣分子的結構。按照Lewis的結構圖，那是一條直線：O—O，每個氧原子帶有7個電子，奇數般的存在肯定不穩定；實驗證據表明應該是雙鍵而非單鍵：它是順磁的（Paramagnetic, 被磁場所吸引），而不是透磁的（Diamagnetic, 被磁場排斥）。氧原子的電子結構式為 1s^2 2s^2 2p^4, 一個氧分子共有16個電子；使用分子軌道的表示法，一個氧分子的電子表達式可寫為 (Sigma1s)^2 (Sigma1s*)^2 (Sigma2s)^2 (sigma2s*)^2 (Sigma2px)^2 (Pi2py)^2 (Pi2pz)^2 (Pi2py*)^1 (Pi2pz*)^1，其中*表示反勁道。根據Hund規則，最後兩個電子以相同的自旋方向（Parallel Spin）進入反勁道Pi2py*和Pi2pz*；因此氧分子會被外部磁場吸引。如果像在氟分子F2、氮分子N2中，最後的電子對以相反自旋進入同一軌道，那就會被外部磁場所排斥。MOT解釋了分子、離子的磁性性質。
當然，分子和離子決不是一個個單獨地遊蕩在空間中，它們彼此之間還有微弱的作用力，即範德華力（Van der Waals Forces），以形成物質。對於微小粒子來說，此種力的大小很難用數字描述，我們隻能用能量來衡量穩定性；溫度其實就是一團物質中的全部分子和離子所擁有的動能的一種度量。請關注關於物質的狀態和相互作用，還有它們的壽命。
