數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
帶電體都不是孤立的，周圍還有其它帶電體以達成一個“穩定”的中性環境。一個質子需要一個電子去中和，還需要數個中子去穩定。自由電子是有的，正如存在著係外行星。與電子（及另外兩種輕子）對應的中微子及其反粒子，正是宇宙變動的原因；但是因為量稀質輕，難以捕捉，就把它們定義為暗物質好了。
對於電動現象，一個帶電體要受到其它電荷的作用，電力大小由庫倫定律確定：F = Ke q1q2r/|r|^3, 其中，Ke為試驗常數，值為8.9857 * 10^9 （通常記為1/4πε0）; r是朝向自身、由其它電荷指向自己的位移矢量。
考慮一片充滿電荷分布的空間區域S，假設任意點（P, t）處的電量體密度為D(P, t)（表達式未知，假設是確定的），它等於包含點P的一個區域V內的總電量除以體積|V|, 當體積|V|趨向於零時的極限；也可以用帶電體（如電子、質子）的體密度，乘以基本電量e = 1.6 * 10^(-19)（Milliken滴油試驗中得出的那個最大公因數）來計算。區域S內在時刻t的總電量可以表示為空間積分 Q(S, t) = Integral{D(P, t)dV: P屬於S}。
這些電荷並非靜止不動，密度函數D會隨著時刻而變化。按照電量守恒的原則，Q的時間變化率delQ/delt，等於單位時間內新增的電量（源）delq/delt，減去單位時間內淨流出邊界閉曲麵delS的流通量 Integral {d(P, t)v * ndA: P屬於delS}；其中，曲麵積分沿著外法線方向n，d(P, t)為電量的麵密度（單位時間內、單位麵積上的電量），v為帶電體的平均漂移速度。
為了計算v, 設想有一個截麵積為A的導體，單位體積上的帶電粒子數為u，那麽在時間Δt內，經過一個截麵的電量為 ΔQ = A(vΔt) u e。單位時間內通過截麵的電量，稱為電流強度I（矢量）為 ΔQ/Δt = Aue(v)。因此，單位時間內流過單位表麵積的電量為I/A = uev = D(P, t)v = J(P, t) 稱為電流密度, 這也是一個矢量。如果假設電量都分布在區域的表麵，則有d(P, t)|v| dA = D(p, t)dV，亦即d(P, t) = D(P, t)。
按照Gauss散度定理，Integral{J * ndA: P屬於 delS} = Integral{Grad*JdV : P 屬於 S}, 其中， Grad為梯度算子 idel/delx + jdel/dely + kdel/delz，Grad *J 可以看作是一個矢量的空間位置變化率】，可以推出 Del D(P, t)/delt = del(q)/delt ? Grad * J. 此方程表明了電量分布的時間變化率與空間變化率的關係。如果沒有電源或者源q固定（與時刻無關），那麽 Grad * J = - del D(P, t)/delt。
在空間裏任何一點（Po, t）處的電場強度 E(Po, t) 定義為單位電荷（電量=1C）感受到的電場力；即，E(Po, t) = Integral{D(P, t) PPo f(|PPo|) dV: P屬於S}, PPo是從P指向Po的位移矢量, PPo f(|PPo|) 是兩個點電荷P和P0之間的相互作用力。E與J相關，一個簡單的假設是歐姆定律：J(Po, t) = σ E(Po, t)，係數sigma是一個標量，稱為電導率（Electrical Conductivity）。另一方麵，庫倫力是保守力，我們可以定義一個勢函數U：任意兩點A和B之間的電勢差U(B) – U(A), 等於E從A到B沿著任一路徑Y的環流量的負值：U(B) – U(A) = ?Integral {E(P, t) * ds: P屬於Y}；也就是說，E(P, t) = ? Grad(U)。因此，J(P, t) = -σGrad(U)，從而，delD(P, t)/delt = σGrad^2(U) + Grad(σ)*Grad(U) 。
矢量E可以理解為電力線。它通過邊界曲麵delS的通量為 Integral {E(P, t) * ndA: P P delS} = Integral{ * E(P, t)dV: P S}。n為曲麵單位外法線矢量。Gauss定理說，這個通量應當與區域S內的總電量 Integral {D(P, t) dV: P屬於S} 成比例。設比例係數為b, 則有Grad * E(P0, t) = b D(P0, t)，對任意P0屬於S。
為了計算b的值，設想S為一個體積無限小的球體（以P0為中心，R為半徑）；在球麵上的任一點P處，電場強度E(P, t) = Integral{D(P’, t)P'P f(|P'P|) dV: P'屬於球體S}。按照積分中值定理，此式近似等於 Q PP0 f(R)，其中Q為球內總電量，PP0是位移矢量。在電通量 Integral {E(P, t) * ndA: P delS}中，n = P0P/R, 其值近似等於 E(P0, t) 4πR^2 = f(R)R Q 4πR^2 = b Q，因此有 f(R) = b/(4πR^3)。考慮到b應當與空間距離無關，電力式f(R) = C + K/R^3中的C值應當為零，從而b = 4πKe。方程 Grad * E(P, t) = 4πKe D(P, t)是Maxwell的第一個方程。
當帶電體運動時，周圍將產生磁場：把一個帶電體放在一根有電流(強度I)通過的導線Y附近，它會感受到一個力。在觀測位置(P, t) 處，單位正電荷所感受到的力就稱為磁場強度B(P, t)。Biot-Savart通過試驗測得：B(P, t) = Km Integral{I(P', t) ds × P'P/|P'P|^3: P’ 屬於Y}，其中，ds是沿著曲線Y的切線矢量，P'P是從ds (P')處指向觀測處P的位置矢量；Km為實驗常數，值為10^(-7)，通常記為μ0/4π。實驗數據表明，Ke = Km c^2, c為光在真空中的速度，值為 2.9979 2458 × 10^8 m/s。
對於一個點電荷q，當它以勻速度v運動時，觀測處（P, t）的磁場強度為 B(p, t) = v × E(P, t)/c^2，c是光速，E是q產生的電場強度，值為qKe b(r/|r|^3), 而b = [1 – v^2/c^2]/[1 – v^2/c^2 (sinθ)^2]^(3/2)，r是從q所在位置指向P的位移，θ是r與v之間的夾角。這裏考慮了相對論的因素。當v相對於c很小時，有 B(P, t) = qk(v × r/|r|^3)。
對於一個立體S，則 B(P, t) = Km Integral {J × P’P/|P’P|^3 dV: P’屬於S}。總之，對於任何一個內部有電荷流動的幾何體S, 在觀測處(P, t)，會有磁場B(P, t) = Km Integral {J × P’P/|P’P|^3 dm: P’屬於 S}, J是電流密度，即單位幾何體上的電流強度。此式表明，磁力還是與距離的平方成反比,但是，方向與位移垂直，因而不作功。磁力線都是環狀（巡回）的，因為磁鐵總是具有兩極；所以，它通過任一閉曲麵的通量恒為0, 即有 Grad * B = 0；這也可以用前麵關於電流密度J的方程式推出。這是電磁學的第二個方程。
通量或者梯度運算 Grad *F丟失了矢量F的方向信息，還需要考慮F沿著任意空間閉曲線Y的環流量。根據Stokes定理，Integral {F(P, t)* ds, P屬於 Y} = Integral {[ Grad × F(P, t)] * ndA, P屬於Y包含的一個曲麵del S}，曲線積分的方向與曲麵的法線向量n滿足右手螺旋法則。曲線積分的值與曲麵delS的選取無關。安培(Ampere)定律說，對於一個由常電流I產生的磁場B，沿著任何閉路Y，有，Integral {B(P, t)* ds, P屬於Y} = 4πKm I，也就是說，Grad × B = 4πKm J。
Maxwell意識到此方程式在電場E隨著時刻變化時並不成立。假設有一根導線L，其中的電流強度為I（電流密度為J）。圍繞導線有一個平麵（圓）S1和一個曲麵S2，電流穿過S1而不穿過S2；它們合成一個體S。當電流I隨著時刻變化時，板上的電量會變化，但還沒有電流通過兩塊板之間。如果取S1為邊界曲麵，則環流為 4πKm I；如果取S2為邊界曲麵，則環流為零，因為沒有電流通過S2.
考慮附近的一個觀測處(Po，t)。該處的電場強度為E(Po, t) = Ke Integral{D(P, t) ds: P屬於 L}; 磁場B(Po, t) = Km Integral {J × ds: P屬於L}。B沿著曲線Y的環流= Integral {B(Po, t) * ds, Po屬於Y}, 代入B線積分式，難於計算；轉而計算Grado * B(Po,t) = Km Integral { Grado * (J *r/|r|^3ds , P屬於L}, 這裏的下標o表示對Po的分量（坐標）求梯度,而r = PPo, |r| = sqrt{(x – xo)^2 + (y – yo)^2 + (z – zo)^2}，計算可得 Grado * (J * r/|r|^3)=Grado * (Grado * J/|r|) 。另一方麵，E(Po, t)關於時間的變化率為
Del E(Po, t)/delt = Ke Integral{[del D(P, t)/delt] ds: P } = Ke Integral {[?Grad * J]ds: P屬於L}.代入關於矢量的點積與叉積運算的恒等式，可以計算出，delE(Po, t)/delt = c^2[ Grado * B(Po,t)] ? 4πKe J(Po, t)。這是Maxwell的第三個方程。
再計算E沿閉曲線的環流，可以導出Faraday的電磁感應定律： = ?delB(Po, t)/delt。矢量E（Po, t）與B(Po, t)的矢量積，稱為Poynting矢量；它的方向就是電磁波傳播的方向；它的模的大小與電磁波所包含的能量成比例。然而，兩個線積分的叉積計算十分困難；我相信有一個方法，正如上麵第三個方程的推導，我得出了曲線積分的分部積分公式。更難的是，叉積的物理實現，這樣就有人造太陽了。
