數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
記得李雲鋒同學曾經說過，一個人得有一本看家的書。我當時在研究Hardy-Littlewood方法，也就是圓法。此法把一個Diophantine方程的整數解的個數表示為一個三角和的積分，對於華林問題（Waring’s Problem）的研究有很大的促進。由此可以證明，一個充分大的自然數n，總可以表示為至多G(k)個自然數的k次冪之和。現已證明，當k ≥ 400時，G(k) < 2k log k+2kloglog k+12k。還有g(k)的值都已經被確定了。
圓法對於Goldbach猜想的研究也有推動。蘇聯數學家就證明了，一個充分大的奇數，可以表示為三個奇質數之和。這些都取決於三角和的估計，那可是一件難事。蘇聯數學家Viragradov創造了一種方法，可以改進估計的上界；中國數學家華羅庚、王元都對此有過深入的研究，但是都很難達到完美的結果。陳景潤研究1 + 2使用的是篩法，但篩法似乎也已經到了極限，達不到 1 + 1的程度。還有不有什麽方法，可以用來研究數論, 也就是整數的基本性質？我研究了Zeta函數，那就是我的看家本領了。
Zeta函數首先是由無窮級數 Sigma{n^(-s)*an: n = 1, 2, ….}定義的，其中s為任意複數，an為係數。它的收斂區域為半平麵 Re(s) > a 的形式，可以延拓到整個平麵，但是可能有一些極點。當an為完全積性函數時，即a(mn) = a(m)a(n)對所有正整數m, n成立，Zeta函數，在其絕對收斂域上，可以表示為在質數集上的無窮乘積。Riemann Zeta·函數是最簡單的一個：an = 1。無窮乘積取對數後，還可以表示為zeta函數，其係數直接包含了全部質數的信息；如果使用豎直線上的複積分，係數的信息可以全部表示出來，因此可以推出質數定理。
Riemann Zeta函數隻有一個一階極點 s = 1，其殘（留）數（Loren展開式的係數）為1。解析延拓後發現，它在s = -1處的值為 -1/12；因此一些半吊子的網紅就拿此來說事，聲稱所有自然數的和等於 -1/12。殊不知，解析延拓的原理隻是一種定義，它定義了一個新的解析函數，與原來的函數早已不是同一回事。跨越了極點的新表達式，就像一個人跨越了生死線，獲得了新生，絕不能回到過去了；或者是一個宇宙經曆了一個新的黑洞爆發。數學中允許跨越收斂性，但是不能直接除以零。
E. C. Titchmarsh在1951年寫了一本書<The theory of Riemann Zeta-Function>；我讀到的是Heath-Brown在1986年的注釋本。書中詳細總結了Riemann Zeta函數的定義、表示、解析延拓、階的估計、零點分布、值的分布，以及相關聯的質數分布、因子問題。懸而未決的是著名的Riemann猜想：Riemann Zeta函數的零點，除了負偶整數外，都分布在直線 Re(s) = ½上。有人用計算機算過了，前麵幾百萬個零點都是如此。前六個零點，精確到小數點後兩位，分別是 0.5 ± 14.13i， 0.5 ± 21.02i, 0.5 ± 25.01i, 0.5 ± 30.42i, 0.5 ± 32.93i, 0.5 ± 37.58i。
如果這些非平凡零點能夠被確定，那麽，質數分布、因子分部等等就都有了精確的表達式，這個世界也就大圓滿了，Lindelof猜想也就成了一個推論。我的計算發現，Riemann Zeta函數的值完全由它在 0.5 ± isqrt(n)， n = 0, 1, 2, …的值確定；原來還以為可以通過整數插值確定呢！再通過用其它方法去計算這些值，Riemann Zeta函數的表達式就確定了。再用反證法可以證明，它的非平凡零點都在直線 Re(s) = ½上；而且都是單根。
這也足以證明1 + 1 即Goldbach猜想。對此猜想，以前我沿著華羅庚提出的一個初等方法，還請教了他的一個學生那吉生，可以估計出一些餘項，但不能徹底解決問題。之後我又得到了二元一次不定方程的精確表達式，還是不能估計出所有餘項，因為要涉到Mobius函數。我也用三角和去表示出了質數的分布，還對冪級數實現了變量代換，以加快收斂速度；但和式至少是八重，很難化簡。有了Zeta·函數的零點分布，一切就都迎刃而解了。
記得曾經有北京鋼鐵學院的一個教授，用Mobius逆變換解決了物理學中的一個難題。現在有了此函數的部分和的精確表示，還有什麽物理問題不能解決？世界真的是完美了。
厲害，Riemann 猜想您已經證明了？膜拜下。