物理數學方程（1）

有三個著名的物理學方程：熱傳導方程、波方程、勢方程，寫出來都是二階線性偏微分方程。其實，隻有一個方程，那就是能量的擴散方程，對於流體以及汙染物的擴散，爆炸、撞擊、任何相互作用，包括電與磁、核與色、量子與光、質量與引力，都可以用一個方程式表出。揭示能量的運動規律後，人們才能知道怎麽利用它們。
首先，對於摸得著的熱、流傳導，設u(P, t)為能量（或者質量）的密度，即單位幾何度量（一維長度，二維麵積，三維及以上體積）上的能量，這裏P是一個空間位置，t為時刻。一點處的能量密度要由包含該點的區域上的平均密度去逼近。在一個區域D內的總能量為
E(D, t) = Integral {u (P, t) dm: P 屬於D} ，m為幾何度量，dm是微元.
在時間[t, t + Δt]內，能量E的改變量為 ΔE = Integral{ Δu dm，P屬於D}。按照能量的守恒定律，ΔE應當等於，u通過邊界曲麵delD的靜流量（流入減去流出），再加上源 S(D, t + Δt) – S(D, t)，減去漏 L(D, t + Δt) – L(D, t)。單位時間內通過單位表麵積的能量稱為通量；令Δt趨向於零，得 Integral { delu(P, t)/delt dm, P屬於D} 
= Integral {F(P, t)dA, P屬於 delD, A為麵積, 比m低一維的幾何度量} + delS(D, t)/delt – delL(D, t)/delt. 其中，del表示求偏導數。
對於通量F，我們有Fick擴散定律：（1）能量總是從密度高的地方流向密度低的地方，（2）流速與密度的梯度（Gradient u = i   + j  + k ）成比例。對於熱流而言，這其實就是傅立葉 (Fourier) 熱傳導定律。熱能可以通過溫度T來反映。沒有溫差，則沒有熱能的流動；溫差越大，熱能的流動就越大。所以，流速V (矢量) = C  u，比例係數C表示媒介的導熱（能）能力，與物質的性質有關，與空間位置或時刻無關。C為負值，表示流速與梯度反向。
應用散度定理，曲麵積分 Integral { u * n dA，P 屬於邊界delD} = Integral {Δu dm，P屬於D}, 其中，Δu是拉普拉斯算子：Δu =   +   +  . 於是可得 Delu/delt = C Δu + S(P, t) – L(P, t)，這裏的S/L是單位時間單位體積內產生的源/漏。如果無源無漏，則此項為零。

其次，考慮波動方程。首先討論一維的情形。一根被拉緊的弦會振動。考慮一種簡單情況：弦與地麵平行（設水平方向為x軸，向右為正），它的線密度為d (質量與長度的比值)。考慮弦上的一小段位於[x0, x1] 上的弧，其上每一點離開平衡位置的位移為u(x, t) （向上為正），x為區間[x0, x1]上任一點。
 
假設弦是完全柔性的：它彎曲時沒有阻力，而且弦的其它部分對此弧段兩端的作用力沿著弦的切線方向（此切向力稱為弦的張力，記為T(x, t)）。假設x處的弧段與水平方向的角度為θ = θ(x, t)，即tanθ = delu/delx。在水平方向，弦的位移很小，可以忽略不計:合力大小為零：T(x0, t)cos(θ0) = T(x1, t)cos(θ1). 
在豎直方向，應用牛頓第二定律：d(x)(L) del2u/delt2 = T(x1, t)sin(θ1) – T(x0, t)sin(θ0) – d(x)Lg，其中，x近似看作x0和x1的中點，L為弧長，g為重力加速度。令Δx = x1 – x0 趨向於零，並將弧長L近似地看成Δx，可得：d(x) del2u/delt2 = del(Tsinθ)/delx – gd(x)。由於水平位移忽略不記，Tsinθ 約等於Ttanθ = Tdelu/delx。因此得到一維波動方程：d(x) del2u/delt2 = del(Tdelu/delx)/delx – gd(x)。當密度和張力為常量時，則有 del2u/delt2 = v2 del2u/delx2 – g。其中，v = sqrt(T/d)是波的傳播速率，這可以用理想化的圓周運動推出。

對於二維的振動膜，膜上任一點的位移記為u = z(x, y, t)。假設斜率delu/delx，delu/dely都很小，振動可以近似看作是垂直的，張力的大小T也是近似恒定的，麵密度d(x, y, t)有時也可看作常量。對位於(x, y, t) 處的一小塊曲麵（麵積dA），在其邊界曲線上取一個小弧段，弧的切線方向為τ（單位向量，逆時針為正，即曲麵在左邊），曲麵的外法線方向為n，那麽，張力由T(t × n) （矢量積）確定。在豎直方向的總張力為 Integral{T(t × n) * k dl}，沿邊界曲線的線積分，k為豎直方向的單位向量（向上為正）; * 為標量積。
 
在豎直方向應用牛頓第二定律，曲麵積分 Integral{d(x, y, t)dA * del2u/delt2} 等於曲線積分 Integral{{T(t × n) * k dl} 減去重力 mg = g*Integral{d(x, y, t)dA}. 曲線積分 Integral{{T(t × n) * k dl} = Integral{{T(n × k) * t dl}; 根據Stokes定理，Integral{B * tdl} = Integral{曲麵積分 Integral{(∇×B)*ndA} ，其中∇ 為梯度算子, 可得 
d(x, y, t) del2u/delt2 = T[(∇×(n×k))*n] – gd(x, y, t)。
模上的點可以用(x, y, z)來表示；單位法向量n = [-delu/delx, -delu/dely, 1]/sqrt() 近似等於分子，所以 n × k = [-delu/dely, delu/dx, 0]，(∇×(n×k)) = k(del2u/delx2 + del2u/dely2)；因此
del2u/delt2 = v2 {del2u/delx2 + del2u/dely2} – g, 其中v2 = T/d(x, y, t)。
這就是振動膜的方程。

對於三維流體，設其體密度為d; 壓強的大小（單位表麵積上所受到的壓力）為p。考慮一小截流體（見下圖），質量為 (ΔV)d，界於兩個截麵A1和A2之間。位於流體中心（x, y, z, t）處的小位移u(x, y, z, t), 流速為v = delu/delt。如果流體是不可壓縮的，則有連續流方程：- d1A1(v1*n1) = d2A2(v2*n2), n1, n2是截麵的外法線方向向量。在左端，n1 = -v1/|v1|, 在右端，n2 = v2/|v2|，|v|是流速的大小。因此，d1A1v1 = d2A2v2.
 
另一方麵，流體的其它部分對此段的作用力來自於兩端；左端的作用力為 -p1A1n1, 右端的作用力為 -p2A2n2。重力為 -(ΔV)dg (g 指向球心，這是對星球人而言的)。根據牛頓第二定律，有：
(ΔV)d (del2u/delt2) = -p1A1n1 ?p2A2n2 ?(ΔV)dg, 兩邊除以d (ΔV)，可得
del2u/delt2 =- (p2A2v2/|v2| ? p1A1v1/|v1|)/d(ΔV) – g 。令ΔV趨向於零，
del2u/delt2 =- del (pAv/d|v|)/del(V) - g. 
對於一個體積微元，delV = A 位移u在速度方向v/|v|的投影，即 delV = A del(u * v/|v|)，因此，
del2u/delt2 =- del(pv/d)/del(u * v) - g. 這就是介質的擾動方程。Bernoulli方程、Navier-Stokes方程都是特例。

第三，勢方程，也就是物體之間的相互作用。按照牛頓力學的觀點，物體的運動是由外力引起的；外力可分為兩類。一是體力（Body forces），它穿體而過，包括引力、電磁力、核力、色力，還有描述旋轉運動的、虛擬的離心力、歐拉力、Coriolis效應等。二是表麵力 (Surface forces) ，作用於物體的內、外表麵，有接觸力、表麵張力、分子黏附力；內部的接觸力會傳導至體內每一個點。表麵力可以分解為法向力與沿著切平麵兩個方向的力（shear force）。
我們先探尋保守的相互作用力的表達式，也就是沿著一條曲線的作用與路徑（過程）無關;由此對力場中的每一個點Q，可以定以一個勢函數（實、標量）：U（Q）= Integral{F(P, t) * dr: P屬於從某個參照點O到點Q的任一路徑，r是從O到P的位移}。保守力的另一含義是，在它的作用下，物體的機械能（動能+勢能）與時刻無關。彈簧力（走直線）算一種，其大小與方向由Hooke定律確定：F = -ku，u是位移；固體（Rigid body）的彈性力屬於表麵力，不是保守力。
閉曲線C上的路徑積分 Integral{F(P, t) * dr: P屬於C} = 0，由Stokes定理，當且僅當旋量 ∇ × F = 0。引進空間直角坐標係（x, y, z），力F的分量為(f, h, s)，從而，dels/dely = delh/delz, delf/delz = dels/delx, delh/delx = delf/dely. 此時，fdx + hdy + sdz 是一個全微分；F = ∇U. 如果假設U與時刻無關，而且無源無漏，則從前麵第一段可以推出 ΔU = del2U/delx2 + del2U/dely2 + del2U/delz2 = 0. 這就是勢方程；它的解稱為調和函數。調和函數在一個區域內的值，完全由邊界曲麵上的值確定。在二維的情形，任何一個複解析函數的實部和虛部都是調和函數。
形如U = 1/sqrt[(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2]的勢是一個調和函數（(a, b, c)為某個固定點）；由此導出的力式與距離的平方成反比。還有其它的自然力嗎？在物理和統計中，經常定義一些“矩”，即量與位移的數量積 qr；它關於時間的變化率就是線性動量（還有角動量和磁動量）。在量子力學中，一個日本物理學家(Yukawa)提出了一種與距離成正比的力；這有什麽理論根據嗎？
按照牛頓的作用與反作用定律，兩個物體之間的作用是相互的：A對B在時刻t的作用力為 f(d，t)r (d是A到B的距離，r是從A到B的位移矢量)，B對A的作用力就是 ?f(d，t)r；f是一個實函數。當f與時刻t無關時，按照矢量加法的法則，可以推出f = C + K/d^3，C和K為常量，即與d和t無關。與時刻相關的推導，可以加進Lorentz變換，不帶旋轉效應的那種，。如果有轉動，還要加上歐拉力、Coriolis力：其實都是因轉動而產生的感應力。由此，可以得出最一般的場論方程。
微觀世界和超微觀世界裏的物理數學方程，待續。

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