極限的概念和種類

人類在對數量的認識上有三次飛躍。一是從正數到負數，二是從數值到變量，三是從靜量到極限。變量盡管可以取不同的數值，但它本身還是靜態的，沒有體現變化的過程。從哲學上說，自然界的一切量都在隨著時刻變化，沒有人兩次踏進同一條河；宇宙空間與時間是交織著的、不可分的。一個量的時間變化率（或者更高階的時間變化率）才有可能是常量，即與時刻無關。為了理解瞬時變化率的概念，必須把時刻想像為連續的，即時間間隔Δt可以無限細分，或者趨向於零。至於Planck的最短時間間隔或者最小空間間隔，那是一個實驗物理學家的認識極限，數學家們眼裏的世界都是連續的、可以無限細分的。

數學是研究數與形的，但是“形”可以按照“維數”歸結為點集：一條曲線是有連續的點構成，一個曲麵由連續的曲線生成，一塊立體則由連續的曲麵層疊而成。再往上，三維立體堆積而成四維空間，比如我們的時空。維數，其實就是人類為了描述一個實體，所需要的自由變量的個數。有人說，人的大腦是26維的；也有人說，那是10維的；沒有人能夠弄得清楚。在數學上，任何一個k維形體，都可以用從R^k出發的對應（映射、變換或者函數）來表示。其中，R是實數集，一個具有連續基數的數域。關鍵是函數表達式的收斂性：你不能隨手寫一個連續和式，就聲稱那代表了一個世界裏的所有東西，得有某種收斂性才行：最終要導出一個完備空間或者緊致空間。

在整個數學領域中，有三種收斂性的概念：（1）按照點間距離或者向量的範數收斂，即序列極限；（2）按照幾何體的度量（如體積、麵積等）或測度收斂，即體極限；（3）按照任意鄰域包含所有後續項（映射是從一個有向集到一個拓撲空間）定義的網極限。前兩種是分析學中的收斂概念，第三種是拓撲學中的概念，由Moore 和Smith在1922年引進；它包含了前兩種收斂性。但是，隻有當那個有向集是有限維的時候，才能開展分析學。

 

人類從自然數出發，引進0和負數，經過加、減、乘、除四種基本運算，得到了有理數集Q。有理數的個數是可數無窮大ω，因為它們可以被排成一列，即與自然數一一對應。有理數集形成了一個最小的無限數域；它是“無縫的“，即任何兩個有理數之間還有一個有理數；但還有一些數，不可能由自然數經過有限次的四則運算得到，即是無理數，比如sqrt(2)。人們希望，我們的數係可以與一條直線上的點一一對應，可直線是連續的：日取其半，萬世不竭；於是就有了Dedekind分割：把全體有理數分成兩個不相交的非空集合A和B，使得A中的任何一個數都小於B中的任何一個數。如果A有最大的數，或者B有最小的數，此分割就得到一個有理數；如果A無最大數，而且B無最小數，就確定了一個無理數。比如，A = {x  Q: x^2 < 2} ，B = {y  Q: y^2 > 2} ，就確定了sqrt (2) 。有理數和無理數統稱為實數。

實數集的基數是連續的c（Continuum）。我們有連續統公理：在ω與c之間，不存在其它的基數。比c更大的一個基數是2^c，即實數集的冪集，它與所有實函數之間有個一一對應。有理數集在實數集中是” 稠密的 “，即任何一個實數都是某個有理數列的極限。此外，還有其它7條互相等價的基本公理，用來描述實數集的完備性、緊致性和可分性。單調有界定理是其中之一，這是微積分中唯一提到的公理。

在實數集中，兩個點（數x, y）之間的距離就是它們的差：|x – y|。在k維空間F^k（F是一個數域）中，一般采用歐氏距離來表示兩個點之間的接近程度。但在一般的拓撲空間裏，距離函數可以是任何滿足三條公理（對稱性、正定性、三角不等式）的任何一個二元實函數。這是法國數學家Frechet於1906年首先提出的；這三條公理也合符人們對距離的基本認知。在一致拓撲空間中，偽距離把正定性也去掉了；隻要求一簇滿足可分離性的二元函數。在愛因斯坦的相對時空中，兩個事件之間的距離定義為：sqrt[ (cΔt)^2 – (Δx)^2 – (Δy)^2 - （Δz）^2]，除了非負性之外，其它公理都不滿足，隻是在Lorentz變換下，此式保持不變。可見，距離沒有普遍的標準；也隻有如此才能表達時空的扭曲和變化多端。

按照距離函數趨向於零，采用代數化的epsilon-N定義。給定空間中的可數無窮多個點{Pn}，當n趨向於可數無窮大時，{Pn}無限趨近於某個有限點P，指的是在按照某種距離函數d(Pn, P)接近於0。極限點的存在性，由空間的完備性保證。

在一個向量空間中（一定含有零向量），範數是一個一元實函數，要求滿足正定性、三角不等式、齊次性（即，||ax|| = |a| ||x||，a是數，x是向量）。有了範數，便可定義距離：d(x, y) = ||x – y||；它滿足距離三公理。但是，僅有距離，不能定義範數，因為向量空間需要有一種線性（代數）結構。

在P-adic數的理論中，引進了賦值的概念：有理數集上的一個實函數，滿足正定性、可乘性[f(xy) = f(x)f(y)]、次可加性[ f(x + y) ≤ f(x) + f(y), 類似於三角不等式]。對於一個有理數a = (m/n)p^k，m，n, k為整數，m, n與素數p互質，它的p-adic賦值定義為 p^(-k)。兩個有理數a, b之間的距離按照 （a – b）的p-adic賦值來定義；可以證明，在此距離下，p-adic擴張是一個完備集。

 

點列是離散的，它的極限（收斂性）可以按距離來定義。對於一個連續的形體，我們要用無窮細分、也就是微元的概念。最早出現的是黎曼積分，那是人們對於幾何形體的度量的自然想法。先定義了矩形（直角形）的麵積，再導出直（多）邊形的麵積，然後用直邊形去接近曲邊形（如圓）的麵積；對於3維圖形的體積也是如此。那些用來表示各個維度的自變量的微小幾何度量，如角度、長度、麵積、體積（3維以上都叫做體積），就叫做微元；二階或以上微元的和式，都趨向於零，可以忽略不計。微元前麵的係數，可以理解為依附於此微元上的某種量的密度。在黎曼積分中，密度必須要是連續的才可積，至少是（充要條件），不連續點的集合具有零測度。

測度是幾何度量的推廣，有多種不同的測度，這裏說說Lebesgue測度。在k維歐氏空間R^k中的點集，可不隻有連續區域。在一維實數集R的區間 [0, 1] 構造出來的Cantor集，驚掉了所有人的下巴：把它三等分，去掉中間的三分之一；再對剩下的區間如此操作，無窮盡地進行下去。最後剩下的部分就是Cantor集。被去掉的區間的總長度為1；Cantor集的測度是0，還是一個無窮閉集。

一個有限區間（閉、開、或者半閉半開）的測度就是它的長度；不相交的可數個區間的測度，等於所有區間長度之和。一個集合的外測度，就是所有包含它的開區間的測度的下確界；內測度則是所有包含於此集合的有界閉集的測度的上確界。當外測度等於內測度時，該集就稱為Lebesgue可測的。不可測集合的結構是如此複雜，以至於不能賦予任何有意義的度量。Giuseppe Vitali在1905年還真是構造出了不可測的集合。可測函數由其取值範圍來定義：如果集合E{x: f(x) ≥ r} 或者 F{x: f(x) < r}對所有實數r可測，函數f就是可測的。可測函數可以用一個簡單函數列來逼近；可測函數在可測集上Lebesgue可積：int{f(x)dm: x  E}可定義，其中m是Lebesgue測度。一些著名的黎曼不可積函數，如Dirichlet函數、黎曼函數，都是Lebesgue可積的。

Feynman積分是一個物體的作用（表示物體結構或能量信息的函數）沿所有連續曲線的和。為了保證收斂性，每一項需要乘以一個收斂因子。利用測度微元的思想，可以化為一個複圍道積分。在複變函數中，解析函數的表示就徹底自由了！如果再加上相對論的考量，引入四元數，弦的運動方程就可解，而不僅僅是基本粒子的概率幅度表示。

 

在概率統計中，隨機變量的序列有四種收斂性: （1）按照概率收斂，（2）以概率1收斂，（3）按分布收斂，（4）按照均值（期望值）收斂。概率其實就是隨機事件空間上的一種測度。對於連續型的隨機變量，可以定義概率密度，概率可以用積分表式示。離散型的隨機變量的概率，可以用和式表示。混合型的概率分布函數，用事件空間上的連續和表示：概率密度乘以空間度量的微元，然後對所有基本事件相加。和式的收斂性由分布密度的非負性、組合係數的非負性且和為1保證。

一個空間裏某種現象的發生的概率其實是未知的，我們需要通過抽樣去發現其統計規律。一個統計量，就是不含未知參數、隻依賴於觀測值的可測函數。我們可以去估計樣本的均值、方差、各階矩等等，用它們去接近母體的相關參數。對於獨立同分布的樣本，可以證明，它的Z-Score, 當樣本數趨向於無窮大時，Z-score按分布收斂於標準正態分布。也許我們可以把任何分布的Z-score近似地看成正態分布；但其均值與方差還是需要無偏一致統計量去估計。

一個大四學生上學期學了一門課，《概率論在工程中的應用》；他的感覺是，幾乎要用盡所有的大學數學知識；其實呢，統計學的方法都沒有涉及。我在大學裏學《概率統計》時，那個女老師隻會抄黑板，不會做任何原理的解釋；之後我就自己去把每一個細節弄清楚。現在，在一個純粹數學家的眼裏，概率論已經很完善了—沒有什麽可以值得研究的了。在物理學中，人們追求一個大一統的理論；但在數學中，這是不可能的：沒有一組式子能夠描盡天下所有現象，也沒有一組映射，能夠實現所有的變換。