數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
一個數學成績很好的學生曾經對我說，一定要讓她弟弟學到最好的數學；也有一個家長曾經對我說，一定要讓他孩子學到最聰明的數學。他們的意思是，不用學很多數學知識，也不需要做很多練習，隻學習某些竅門，就可以解決任何數學問題，至少是看到任何問題都知道怎麽解。我自信知道所有的數學學科，可我的概念中隻有最全麵的數學、最高深的數學、最有用的數學等，要不就是分成學校數學與競賽數學。
學校數學隻教代數、幾何、微積分，而且是極其膚淺的那種。這些都是墨守陳規、有公式定律可套的東西，機械般地沒有技巧、沒有新思想，隻適合於按部就班、不搞發明創造的人。要想學到聰明數學，隻有鑽研競賽數學。一個家長曾經這樣告誡他兒子：如果你不在中學時代參加一些競賽，那麽到了大學裏，一切都是套公式，腦袋都要僵化了。現實情況卻是，很多人就連現成的公式都不會套。
從內容上來說，競賽數學有三個額外的專題：（1）計數，或稱組合數學；（2）數列，或稱找規律、模式識別（Patterning），包括數學遊戲的致勝策略，還有邏輯推理問題；（3）數論，研究整數的基本性質。整數看似簡單，研究方法可謂無所不用其極！就算把目前已知的所有方法都用上，也不能解決哥德巴赫猜想。為什麽是這三個專題？因為它們都是構造性的！你需要構造出一種新對象、新方法，去證明或否定一個論斷。
還有不有其它專題，可以拿來做中學數學競賽？圖論，研究圖的構造與計數，概念簡單，構造耗時；已有難題，如四色問題，貨郎擔問題，一筆畫問題等，都已解決，沒有什麽題可競賽了。矩陣代數，結構、運算規則都是固定的，沒有自由發揮的空間。運籌學、決策論，使用的工具太過於依賴分析學科，中學生是很難掌握的，但其思想可以借鑒。根據已有信息，預估所有可能的結果、成本與收益，按照最優化原理，決定采取何種策略。自適應、自完善係統都莫過如此。
在演算或推理的過程中，最重要的就是要搞清楚，下一步是什麽？在數學中，有一門學科叫數理邏輯，專門研究符號化的推理過程。隻要把句子（命題）符號化，根據事先設定的推理規則，它就能一步步地給出最終結果。這已經機械化，對於思維訓練的幫助有限。給定一個問題，要想一眼看出如何求解，還得先把它數量化。
數學對象就是一些表達式，用運算符把變量連接起來的關係式；運算符有加、減、乘、除和冪，關係式有等式、不等式、和映射。圖形都可以用映射表出。如何寫出一個關係式？我們要從不同的方麵或不同的角度去考慮問題。我經常對學生們說，要列出一個方程式，你隻要用兩種不同的方式去表達同一個量就可以了。遺憾的是，我就算說上幾十遍，也有人記不住，可能是受學校老師的影響太深了。其實，在所有科學中，這是列式的唯一方法！
有好幾個學生跟我說，要造一台超級計算機，它能夠解決任何數學問題：會做計算，能列方程、解方程。怎麽才能做到呢？我對此有過深入思考，寫過一些教電腦讀書識字列算式的文章，但至今尚未實現。如果真有這樣的機器，那還有不能解決的數學猜想嗎？還有解決不了的疑難雜症嗎？人類豈不是永生了！另一方麵，就算有人造出了這樣的機器，它對於訓練人的大腦也沒有任何好處，相反隻會讓人的大腦僵化、變成機器的奴隸。
有人說，數學補習就是提前學。其實，不同的老師，教學水平是不一樣的；盡管所學的內容大同小異，但老師的思想方法相差巨大。學校裏的老師，衣食無憂、飽日終老，絲毫沒有進取之心；連概念都搞不清，要他們去搞創新，無異於登天。而課外補習老師呢，要想生存，就得拿出超過學校老師的本領；這就逼迫他們不斷地改進，思想方法日趨完善。教出來的學生自然也就勝人一籌。當然，哪裏都有庸醫、庸師，你必須要事先了解才行。
也有人說，我的孩子才不要參加什麽競賽呢，學校裏的功課隻要能夠及格就可以了。殊不知，學校教育正在毀掉多少聰明的大腦！你願意孩子碌碌無為一生，他/她可不一定願意。當然，如果是孩子自己不願意動腦子，你也沒有辦法。有的家長還要講究個性價比：花多少時間和金錢，學多少東西；把孩子變成了一台功利的機器。多出來的時間呢？白白浪費掉，多長點見識不好嗎？
有人說得好，人生就是一個過程！你可以躺平，過平庸的一生；也可以雄起，過精彩的一生。到這個世界來走一遭，不留下點自己創造的東西就太對不起上天了。
我隻是想，數學天才的想法就想正態分布上那個最邊邊的一點點。 但是你要知道還有眾多芸芸眾生。
也便如此，我前前後後看了您的博文三遍，但是最後都有點懵！真是數學家的思維，很有點的跨度，反正最後都沒有完全GET到您的點。