數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
為什麽有的學生大學畢不了業？為什麽有的學生連變量代換都不會？這裏說的不是有智力缺陷者，也不是先知者。在天才與失智者之間，人的智力有不同層次嗎？人的智力到底是由什麽決定的？腦袋大小還是處世態度？我是不相什麽信智商、情商、錢商的，那隻不過是一種度量手段而已，不是決定因素。我見過不少從大學退學的學生了；最近一個親戚就從多倫多大學退學了，感覺是很挫敗，我就想深入地探討一下。
在2008年左右，我曾經教過他高中數學的學生被Waterloo大學退學了，原因是三門課不及格，其中就有微積分。我的印像是，他的數學還是不錯的，在Fermat競賽中還是本校第一名，而且被Waterloo邀請去參加了數學夏令營。不曾想，一個學期下來，就被退到了一個社區學院！他母親又找到我，去幫他的微積分。我問他在Waterloo的一個學期做了多少道練習題；他說15份作業（Assignments），每次3-5道題，也就是40多道題。太少了啊，你沒有自己做點別的題？想當年我上大一時可是把《吉米多維奇習題集》做完了的，4000多道題目啊！現在的學生是不是太懶了？後來，他第二天有考試，由於事先溝通失誤，而我離他有一個多小時的車程，沒有來得及給他臨時抱佛腳。聽到他母親在電話裏哭泣的聲音，我的心也是碎了，也不知他最後有沒有從College畢業。
還有一個讓我印象深刻的學生。在教他三角函數的關聯角度的恒等式時，他理解得很快很好的。在Waterloo大學也隻是呆了一個學期，就去了Centennial College，再學高中十年級的數學。一年後重新申請York University，還被錄取了；可是每個學期開始時，他選上幾門課，上一個月，看到成績不好，立即就Drop掉了；下一學年再如此重複。五、六年下來還在原地踏步！他自己也完全喪失了自信心；父母都勸他別上了，找份工作幹幹就得了。他母親又找到我給他上了一次課；我才發現，他根本就理解不了極限的概念！無論怎麽解釋都沒有用。後來，他放棄了。
我那個親戚是個見到數字就頭痛的主，整個高中就連一個方程式都不會寫，隻是立誌當一個翻譯；大學上的專業是什麽Business Management（我也不知道那是幹什麽的）。過去兩年上的都是網課，還能混過去；本學期突然改成麵授了，GPA越來越低，根本不可能畢業，隻好主動退學。可人生還是處在學生階段，也就是學習怎麽生活，總得從某個機構拿到個什麽畢業證才能有工作的資格；嫁人也得有個合格證啊！總要掌握某種技藝才行。
很多人不會學習，是不是腦子裏少根筋？或者說，腦子不知道轉彎，不知道換肩（換個角度思考問題）？遇到一個問題，根本就不知道如何下手、如何繼續。計算或推理的最重要的過程，就是要搞清楚，下一步是幹什麽？自適應、自完善係統都知道下一步以及最後一步、未來預期。根據已有信息，預算所有可能的結果，成本與收益，按照最優化原理，決定下一步做什麽。機器自動駕駛都能行，智能機器人已在路上橫行，人腦怎麽會少根弦？
去年我遇到了這麽一個學生：無論你給她講什麽東西，她都不置可否；擺出一副什麽都知道了的姿態；可是你讓她動動手去解決某個具體問題時，卻根本不知道如何下手。然後找出各種借口，比如我姐姐都上大學了，這種問題她也不會做；要不就是我將來要幹的是別的什麽什麽，不需要知道這個東東。多年以前還有這麽一個學生，我給她講數學，她在課堂上做物理作業；當我給她上物理課時，她就做數學作業。這是一種什麽心態呢？想隱藏自己的無知，還是要展現自己另有所知？
今年4月初，我給一個大一學生上了僅僅兩次課就氣得撩了挑子。他還有不到兩周就要考《線性代數》了，可是很多概念都還沒有理解。他母親（內人的朋友）讓我給他補習。要把整門課在三、四次課之內複習完，難度不小。當我問到他任何一個概念時，他一概回答沒有學過，聲稱學校老師從來就沒有講過；當我用別的同義詞去重複時，他對其中某一種解釋有點印像，但是自己根本就說不上來。我知道加拿大學校裏的老師從來不講概念和法則，近兩年上的還都是網課，學生們都是雲裏霧裏。這個學生可能根本就沒有好好聽課。我第一堂課給他複習向量的概念，每一個名詞他都說沒有聽到過；我問他，你的在校教授是怎麽稱呼這種變量的，他不知道。四天後，在我給他上第二堂課剛剛開始時，他擺出一副滿不在乎的態度，說話的口氣很不耐煩；我說了一句：這是我給你上的最後一堂課，免強把矩陣對角化的原理講完。
我也不知道當時火氣怎麽那麽大。對於虛心的學生，我從來都是不厭其煩；隻要學生說一句還不懂，再講一遍、兩遍、十遍都行。有一個學生，比例的概念我給他講了不下二十遍；還有一個學生，極限的概念我給她講了三十多遍！在我這裏學習微積分的學生，微分的概念得重複至少五十遍。當然，也有重複上百遍都不明白的學生，這可能真的是智力問題了。如何讓腦子裏多生出幾根筋來，我無能為力；如何改變處世態度，也許家長能行。
大學畢不了業的應該是學習的天分不夠。
自己笨，但是知道自己笨的人比笨還認為自己比別人聰明的人智商要高。
雖然我們平時一般不會感覺它的存在，但是有些特殊情況下，如果我們仔細，是可以感覺到的，比如：
1）有過車禍經曆的人往往有一種經驗：在車禍即將發生而還未發生時，感覺世界裏的時間走得特別慢。為什麽？因為背後的下意識自我在與你的意識自我搶時間。。
2）蘋果公司前總裁喬布斯在斯坦福大學畢業典禮給學生的演講時告誡學生，如果要有出息，就要讓自己安靜下來，注意傾聽自己內心深處的聲音。。什麽是內心深處的聲音？就是下意識自我的聲音。如果意識自我糊裏糊塗地選擇了一個那個下意識自我不同意或不願意幹的方向發展，這個人多半以後做不好。。
3）我們過去都有聽說過，說一些數學家久久沒有解決一些難題，結果在夢中找到了答案。因為當他們的意識自我睡覺時，他們的下意識自我還在工作。。
4）常言道，怕啥來啥。這種怕的感覺就是來自這個下意識自我的聲音，它在告述意識中的自我這件事會發生的。。
5）人們有時會爭論靈魂是否存在，其實靈魂很可能就是那個下意識的自我。。
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但離開大學，不需要學微積分的時候，我的生活就馬上一帆風順了。工作裏是不需要涉及高度複雜的數學的，如果有數學，也有電腦程序幫你解決。世界上數學不及格的人多著，但那根本不妨礙他們成為成功人士。