數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
生物化學是關於生命的化學。它可以被視為分子生物學的一個分支，研究一些特定的生物分子及其化學反應；也可以視作化學的一個分支，研究有機體中的複雜化學反應。在這裏，我要展示一些重要生物化學反應動力學的數學模型，包括：質量作用定律，生物酶動力方程，穿過細胞膜的傳送機製。
質量作用定律（The law of mass action）說的是：一個過程進化的速率與參與物質的“活躍量”的乘積成正比。它來自於化學動力學，被廣泛運用於各種量的擴散，包括能量、化學品、甚至是波。
對於一個一步式的基本化學反應：aA + bB ==> C，其反應速率定義為
-d[A]/[adt] = -d[B]/[bdt] = d[C]/dt，其中，[X]表示物質X的濃度，a,b為計量化學係數。
質量作用定律斷言，此反應速率等於 k[A]^a * [B]^b，k是比例常數，單位與濃度有關，其值可以由Arrhenius方程確定：k = F exp(-Ea/RT). F與有效碰撞頻率有關，Ea是啟動能量。
一個奇怪的反應是：H2(g) + Br2(g) ==> 2HBr (g)，速率為k[H2] [Br2]^(0.5) /(1 + k’[HBr]/[Br2]). 三位科學家，Henry Eyring, K. F. Herzfeld, and Michael Polanyi在1930年，把它拆分為5個基本反應，才從理論上推出了實驗結果。
對於可逆的反應：aA + bB (kr)<==> cC + dD (kf), 在寫出每一種參與物的變化率時，比例常數之前要加符號：當箭頭指向它時，帶正號；當箭頭離開它時，要帶負號。例如，d[A]/dt = − kf [A]^a * [B]^b + kr [C]^c * [D]^d, d[C]/dt = kf [A]^a * [B]^b − kr [C]^c * [D]^d. 當達到平衡時，各種物質的濃度保持恒定，其變化率為零。
酶是生物催化劑，通常是蛋白質。一個基因主導一種酶的製造；任何一種酶隻參與一些特定的反應。酶加速反應進程，本身並不會改變，更不會被消耗掉。沒有酶，大多數的生物化學反應太慢，生命不可能出現。
由一種酶E參與的反應可以簡單地表示為：S + E ==> P + E (k)，S為基質（Substrate），P為產品（Product）,k 是反應速率d[P]/dt的係數。由於S被不停地供給，S的濃度可以視作常數；反應速率嚴重依賴E。Michaelis 和 Menten在1913年提出了一個帶有中間產品C = SE 的反應機製：S + E (kr) <==> C (kf) ==> P + E (k)
關於P和C的微分方程為：d[C]/dt = kf[S][E] – (kr + k)[C], d[P]/dt = k[C].
不論E是自由的，還是與S結合在一起形成C，其總量是不變的；所以有
d([E] + [C])/dt = 0, [E] + [C] = [E0], [E] = [E0] – [C].
代入到第一個方程，可得
d[C]/dt = kf [S]([E0 - [C]) − (kr + k)[C].
在準穩定狀態下，d[C]/dt = 0, [C] = kf [E0 ][S]/[kr + k + kf [S]].
d[P]/dt = k2 [C] = k1k2 [E0 ][S]/[k−1 + k2 + k1 [S]] = Vm [S]/[Km + [S]],
Km = (k−1 + k2)/k1, Vm = k2 [E0]
如果有抑製劑I要與基質S爭著與酶E的活躍區域結合時，產品便不會形成，這就減慢了反應速度。競爭抑製的模型可以表示為
S + E (kr) <==> C1 (kf) ==> P + E (k)，
I + E (hr) <==> C2 (hf)
C1和C2是兩種不同的中間產品。
一種簡化方式是，把S和I，帶著係數，放到朝著中間產品的線上，變為新的係數：
C2 (hf [I]) <==> E (hr), E (kr) <==> C1 (kf [S]) ==> P + E (k)
反應速率的微分方程式為：
d[P]/dt = k [C1],
d[C1]/dt = kf[S] [E] – [C1](kr + k),
d[C2]/dt = hf[I] [E] – hr [C2].
由於E的總量守恒，d([E] + [C1] + [C2])/dt = 0, [E] = [E0] – [C1] – [C2];
在準平衡狀態下，d[C1]/dt = 0, d[C2]/dt = 0.
由此可以解出關於反應速率d[P]/dt的方程。
更複雜的情況是，酶E除了與基質S的正常結合處外，抑製劑I可以在其它地方與E綁定（binding）;這就出現了異位抑製。我們需要引進三種中間複合體：C1 = S + E, C2 = I + E, C3 = S + I + E。化學反應式可以表示如下：
C2 (hf[I] <==> E (hr), E (kr) ==> C1 (kf [S]) ==> P + E (k1)
C2 (jr) <==> C3 (jf [S]) ==> P + C2 (k2)
C1 (mr) <==> C3 (mf [I])
這裏的h, k, j, m都是反應速度的比例係數，帶f的表示朝著此產品進行（生成），帶r的表示離此產品而去（消耗）。由此可以寫出微分方程：
d[P]/dt = k1 [C1] + k2[C3],
d[C1]/dt = kf[S] [E] – kr [C1] – k1 [C1] + mr [C3] – mf[I] [C1],
d[C2]/dt = hf[I] [E] – hr [C2] + jr [C3] – jf[S] [C2] + k2[C3],
d[C3]/dt = mf[I] [C1] + jf[S] [C2] – jr [C3] – k2 [C3].
還有催化劑守恒：
d([E] + [C1] + [C2] + [C3])/dt = 0,
以及中間產品的近似平衡方程：d[C1]/dt = d[C2]/dt = d[C3]/dt = 0.
這些方程難以求解，必須要做進一步的簡化才有可能解出。
當一種酶有多個綁定區域時，基質加上抑製劑，寫出來的微分方程比歐拉-拉格朗日方程還複雜；就此略過。
有機體需要進行新陳代謝。這需要細胞從體外吸收營養並排出廢物，這需要穿過細胞膜。因為膜的非極性性質，大多數的離子和極性物質都不易透過；少數離子如H+，Na+, K+, Ca2+, Cl-, 以及代謝物質如糖、氨基酸、核苷酸、丙酮酸，需要傳送蛋白質的幫助，才能穿過膜。
一種溶質A滲透於膜的裏外兩側，其熱動力學方程類似於化學平衡：A(外) <==> A(裏)。如果A的濃度在裏外兩側有差異，一種化學勢就形成了：delta(G) = G(A(in)) – G(A(out))。G(A)是A的化學勢能，可以與它的標準狀態下的測定值比較：G(A) – Go(A) = RTln[A]。因此，delta(G) = RTln{A(in)/A(out)}。物質都有均勻分布的趨勢：總是從密度高的地方流向密度低的地方。當 delta(G) < 0時，A流進；反之則流出。
如果有離子存在，裏外兩側還有電勢差：delta(V) = V(in) – V(out)。如果A是離子，要把1摩爾的A離子從外搬到裏，需要作功 W =C(A)*F*delta(V), C(A) 是A的電量，如C(H+) = +1, C(Cl−) = -1. F是法拉第常數，值為96,485 Coulomb/mole. 因此，在裏外兩側，A的電化學勢差為 delta(G) = RTln([A(in)[/[A(out)]) + C(A)×F×delta(V)。
傳送過程分為兩類：無媒介協助的簡單擴散，有特定蛋白質載體協助的傳送。後者又可細分為順著勢差（由高到低）傳送，與逆向傳送。逆向傳送需要大能分子如ATP的驅動。
在無媒介擴散時，驅動力是 delta(G)。設J為A在單位時間內透過單位麵積的流量，x為流動距離；Nerst-Planck方程說，J = −U [A] dG/dx, 比例係數U被稱為A在膜（介質）中的流動性。
如果A不帶電，G = Go + RTln[A], dG/dx = RT/[A] * d[A]/dx, J = − URT*d[A]/dx; 記D = URT，稱為A在介質中的擴散係數。如果膜的厚度為X，則J近似等於 D/X * ([A(out) – A(in)]；D/X是膜的滲透係數。【如果A帶電，則G還要增加一項A在場中的電勢能】。
對於有載體幫助的順勢傳送，一個極簡單的反應機製是：T + A(out) <==> TA → T + A(in), T是傳送蛋白分子。應用近似穩定流方程，可以得到：J = k [TA] = k [To][A]/(K + [A]), J的最大值為k[To], [To]是傳送分子的總量。常數K由實際操作確定，通常取為獲得一半最大流量時的溶質濃度。
