數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
生物數學包括多個方麵：數量增長模型，生物化學過程，以及核苷酸排序。目前建立了許多模型，也許還要加一項：意識和神經編碼。
早在1798年，Thomas Matthus就提出了指數增長模型：dP/dt = (b – d)P, b = 出生率，d是死亡率。但此模型對於長期的增長並不適合，於是有了邏輯模型：dP/dt = P*E(P), E(P) 受環境因素影響，要求滿足：E(0）= r, 當P較小時，以速率r增長；E(K) = 0, 當數量達到環境容許量K時，停止增長。
數量增減模型必須要考慮到年齡；因為隻有特定年齡才能生育，而且出生率和死亡率與年齡有關。在離散的年齡結構模型中，我們把數量分成n個年齡段：N(t) = 【N1(t), N2(t), , Nn(t)】，Ni(t)是在時刻t,年齡為i的數量。在下一時刻，N(t+1) = N(t) L^T, L^T 是Leslie矩陣L的轉置；L的第一行是各年齡段的成熟率（成長到可生育年齡），其它行則是從一個年齡段到下一個年齡段的存活概率。Leslie矩陣L的特征值決定了是增還是減：大於1時在增長，小於1時在衰減，等於1時趨於穩定。
對於連續的年齡模型，我們有McKendrick-von Foerster 偏微分方程：
∂n(a, t)/∂t + ∂n(a, t)/∂a =−μ(a) n(a, t)
其中，n(a, t) 是年齡為a在時刻t的個體密度（單位空間上的個體數量），μ(a) 是與年齡相關的死亡率。加上邊界條件：
n(0, t) = b(a) n(a, t) 關於年齡a從0到t的積分（累加）
其中，b(a) 為年齡相關的出生率。
兩個族群的競爭模型有：dP/dt = P E(P, Q), dQ/dt = Q F(P, Q). 可以簡單地要求函數E和F與數量P和Q線性相關，其係數的比值與食物消耗量的比值正相關：占用資源多的族群增長更快。捕食模型則為：捕食者P，被食者Q，滿足方程 dP/dt = P(aQ – b), dQ/dt = Q(c – mP).比例係數a, b, c, m可以由實際觀察確定。
考慮到環境因素的不確定性，更接近實際情況的是隨機模型。我們有隨機指數模型：
dN = rN dt + σN dW(t)
其中，N(t)為時刻t的數量，r為平均增長率（出生率-死亡率），σ 代表幹擾因子，W(t)則為描述布朗運動的Wiener 過程。
隨機邏輯模型則加上了環境容許量K:dN = rN(1−N/K)dt + σN dWt.
還有離散時間的隨機模型：N（t+1）= sum of Xi, i 從1加到 N(t)； Xi 是上一時刻t的每個個體所產生的下一代數量，它們是獨立同分布的隨機變量。
連續模型則為：
dP(N, t)/dt = B(N−1)P(N−1, t) + D(N+1)P(N+1, t)− [B(N) + D(N)]P(N, t)
其中，P(N, t) 是在時刻t, 具有族群數量N的概率；B(N), D(N) 分別為族群數量為N時的出身率和死亡率。
不要試著去解這些偏微分方程，因為它們的解沒有確定的數學表達式； 隻有一些不精確的數值解。我們可以通過過去的實際觀測，去驗證一下某個模型是否合適；以後再有類似事件發生時，可以預測。
更複雜的事情來了：數量增長還要受到傳染性疾病的影響。我們還要考慮一些健康狀態：可疑感染數S，已被感染數I，已恢複數R；SIR與疫苗接種數V，暴露數E，等有關。在時刻t的現存總數N(t) = S(t) + I(t) + R(t)。最簡單的模型為：
dS/dt =−β SI/N
dI/dt = β SI/N −γI
dR/dt = γI
其中，β 為傳染率，γ 為恢複率。此模型可用於封閉族群（無新生，無死亡），永久免疫，而且是同類物種。
如果考慮到新生和死亡，方程組應當寫為
dS/dt = bN − β SI/N − μS
dI/dt = β SI/N − (γ + μ + α)I
dR/dt = γI − μR
其中，b是出生率，μ是自然死亡率，α是疾病誘發的死亡率。
再加上一個暴露數E （exposed）， T為疾病潛伏時長，可以得到一個SEIR模型：
dE/ dt =β SI/N – E/T。
此模型被用於流感病毒、麻疹病毒，以及2019年底暴發的武漢肺炎病毒。
一個重要參數是，R0 = βγ + μ + α: 當它>1時，表示疾病入侵；小於1時，疾病消退。
綜合增長與傳染病的一個簡單模型是，
dN/dt = rN(1−N/K) − αI
此模型可能引起族群數量動蕩，甚至崩潰。
我們也可以把隨機因素考慮進去，從而寫出相應的偏微分方程。但是，求解太難，比解統計物理學中的量子方程更加複雜，我隻好暫停。
