一個數的地板和天花板

一個實數的取整有兩種方式，一是向下取整，fl(x)，稱為floor of x （地板函數），即是x的整數部分，x = fl(x) + dp(x), 0 ≤ dp(x) < 1(x的小數部分)；另一個是向上取整，cl(x)，稱為ceiling of x （天花板），即是x = cl(x) – cp(x)， 0 ≤ cp(x) < 1。當x為整數時，fl(x) = cl(x)；但x不是整數時，cl(x) = fl(x) + 1。dp(x)和cp(x)都是周期為1的函數；fl(x)和cl(x)都是非初等函數，不在任何國家的數學大綱內，卻是數學競賽出題者的最愛。

fl(x)的主要應用在於 “濾波”, 即在一種量的連續分布中，去掉某些成分後，剩餘部分的數學表示。對於離散的有理數m/n，fl(m/n) 是正整數m除以正整數n的商，餘數m%n (按C語言的記號) 自然就是 m – nfl(m/n) 。對任意實數x, 1/2 – dp(x)是可以用Fourier級數表示的，如果x非整數，它就等於sigma{sin(2πnx)/nπ, n從1加到無窮} 。

例如，有人把完全平方數從正整數列中去掉，得到2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, …；它的第n項就是n + fl(sqrt(n))，若n ≤ fl^2(sqrt(n)) + fl(sqrt(n))；否則為n + 1 + fl(sqrt(n))。也可以把任意k次冪去掉，剩下的數用地板函數表出。也有人把正整數n重複n次排成一行：1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …, 它的第n項就是fl(sqrt(2n) + 0.5), 也可以表示為fl[(1 + sqrt(8n – 7))/2]。在2011年的Euclid競賽中的第九題，就是對此數列性質的討論。

還有人把前n個自然數排成一圈（圓形），從1開始，按照順時針方向，去一個留一個，最後被去掉的那個數記為L(n) （2022年Cayley Contest最後一題）。顯然，L(1) = 1, 當n > 1時，第一輪過後剩下的是全部的偶數2, 4, …, 2fl(n/2) ；因此L(n) = 2L(fl(n/2)) ；自然有L(2k) = L(2k + 1)。這個遞推式的解很簡單，就是L(2^m + h) = 2^m，對所有非負整數h < 2^M。

在1996年的AIME，2005年的Euclid競賽中，出題者把1到n的自然數排成一行，從1開始，從左到右，留一個去一個；然後再回過頭來，從右到左，留一個去一個；如此反複，直到最後一個數。其編號記為R(n)。顯然，R(1) = 1；R(2k – 1) = R(2k)。對於n = 2k，第一輪過後，剩下的是k個奇數：1, 3, …, 2k – 1；如果從右到左將它們重新編號，就可發現一個規律：[R(2k) + 1]/2 + R(k) = k + 1，即R(2k) = 2k + 1 – 2R(k)。寫成一般式子，有R(n) = 2cl(n/2) + 1 – 2R(cl(n/2))。在AIME的那道題中，n = 1024是2的冪，很容易解出。對於一般的n，可以把它寫為二進製數，得出遞推公式。

另一個應用是計數：滿足不等式g(n) ≤ x的正整數n的個數為fl(g^(-1)(x))。例如，在n!中，它能夠被一個質數p除盡的最高次數為fl(n/p) + fl(n/p^2) + fl(n/p^3) + … 直到0.因此n! 末尾的 0的個數為fl(n/5) + fl(n/25) + fl(n/125) + fl(n/625) + …。計算此和式的辦法是將n用p進位製表示，結果就是逐次去掉一個低位數字，依次把各位數字從低位到高位相加。

再一個應用是整除性的判定：正整數m被n整除就是dp(m/n) = (m%n)/n = 0。根據Wilson定理，一個數p為質數的充分必要條件是，dp{[(n – 1)! + 1]/n} = 0；但階乘太大，難於計算。如果用平方根判別法，p為質數的條件是fl(p/q) 不等於0，對有質數q≤ sqrt(p)。給定前n個質數，可以用地板函數表示出下一個質數。

涉及到fl(x)的計算或證明，實際上都是解不等式。有興趣的話，不妨試試這幾給問題:

（1）給定正整數n. 問集合{fl(k^2/n): k = 1, 2, …, n}中，有多少個不同的整數值？

（2）解方程 fl(3/x) + fl(4/x) = 5；

（3）解方程xfl(x) = 7；

（4）給定正整數n，定義一個數列t(k) = 2n(k^2%n) + k，對k = 1, 2, …, n；請找出所有正整數n，使得有四個不同的正整數i, j, k, m ≤ n, 滿足t(i) + t(j) = t(k) + t(m)。

最後一題是Euclid競賽2017年的問題。在這個競賽中，許多問題都沒有一個初等函數表達式。但是，如果能夠使用地板/天花板的話，則隻剩計數問題難以表出了。時至今日（3月7日），離此項競賽還有一個月的時間，若能弄清表達式的話，一定滿分可達！