勾股數與海倫數

記得有一年, 潘承彪教授被邀請去出高考試題，他出了這樣一道題：請證明勾股定理。現如今，此定理的證明不下三百種，網上隨便一搜就唾手可得，可是加拿大八年級的數學老師們沒有一個人能夠解釋清楚。勾股數的一般表示公式，從學校裏出來的、沒有任何課外學習的高中生們，沒有一個人知道。

勾股數是滿足勾股定理的三個正整數，a, b, c，a^2 + b^2 = c^2；比如，(3, 4, 5)是最小的勾股數。如果a, b, c沒有公因數，就叫作本原勾股數PPT（Primitive Pythagorean Triple）。從a, b, c互質，加上勾股定理，可以推出它們兩兩互質；再因為完全平方數隻能是4的倍數或者4的倍數加1，可知a, b必定是一奇一偶。不妨設a為奇數，b為偶數。移項，應用平方差公式，a^2 = (c + b)(c – b)；因為c + b與c – b互質，乘積又是完全平方數，推知它們每個都是完全平方數且為奇數。

設c + b = d^2，c – b = e^2, d > e, 互質且為奇數。b = (d^2 – e^2)/2 = 2mn，其中m = (d +e)/2, n = (d – e)/2, m > n，互質；a = de = m^2 – n^2;奇數，m和n一奇一偶；c = (d^2 + e^2)/2 = m^2 + n^2。這就是PPT的一般公式：a = m^2 – n^2，b = 2mn, c = m^2 + n^2。如果設gcd(a, b, c) = k，就可以得出所有勾股數的表示式：a = k(m^2 – n^2)，b = 2mnk, c = k(m^2 + n^2)。

海倫數來自於海倫三角形，即三邊長a, b, c均為正整數，且麵積也是正整數的三角形。Heron公式說，三角形ABC（對邊長分別為a, b, c）的麵積為α = sqrt(s(s – a)(s – b)(s – c))，其中s為半周長(a + b + c)/2。三角形的麵積公式還有，α = absin(C)/2 = rs = abc/4R，r是內切圓的半徑，R是外接圓的半徑。根據半角公式及餘弦定理，有tan(C/2) = sqrt[(1 – cosC)/(1 + cosC)] = sqrt[(s- a)(s -b)/s(s-c)], 即有正切定理；記z = tan(C/2) = α/s(s – c)。類似地，x = tan(A/2) = α/s(s – a), y = tan(B/2) = α/s(s – b)。當麵積為整數時，x, y, z都是正有理數；而且滿足關係式

z = tan(90 – A/2 – B/2) = cot(A/2 + B/2) = [1 – xy]/(x + y), 即xy + yz + zx = 1。

根據恒等式sin(C)= 2tan(C/2)/[1 + tan^2(C/2)] = 2z/(1 + z^2), sin(A) = 2x/(1 + x^2), sin(B) = 2y/(1 + y^2)，都是正有理數。再由等式, a = 2Rsin(A), b = 2Rsin(B), c = 2Rsin(C)，推知三邊a, b, c可由三個正弦值乘以同一倍數而得。

設x = k/m, y = k/n, gcd(k, m, n) = 1，mn > k^2; 則sinA = 2km/(k^2 + m^2), sinB = 2kn/(k^2 + n^2)，z = (1 – xy)/(x + y) = (mn – k^2)/k(m + n), sinC = 2k(m+n)(mn – k^2)/[(m^2+k^2)(n^2+k^2)], 化為同分母(m^2+k^2)(n^2+k^2)，約去公因數2k,得道海倫數的一般公式：

a = m(n^2 + k^2), b = n(m^2 + k^2), c = (m + n)(mn – k^2)。

半周長s = mn(m + n)，麵積α= mn(m+n)k(mn – k^2); 內切圓半徑r = k(mn – k^2)，外接圓半徑R = （m^2+k^2）(n^2+k^2)/4k。

勾股數必定是海倫數：這從A = 90°, k = m即可看出。三個勾股數中，必定有一個能被3整除，也必定有一個能被5整除；在a, b, a^2 – b^2中，還必定有一個能被7整除。還能找到滿足各種性質的勾股數，比如b^2 – a = 5。勾股數還給出了單位圓周上的所有有理點。再推廣到高次方程，a^n + b^n = c^n，n > 2，就有了Fermat大定理。勾股定理還是歐幾裏德幾何定義距離的出發點。