AP微積分考試滿分高招

每年的AP各科考試都在5月的第一、二兩周舉行；今年的AP Calculus考試在5月9日上午8點。AP意指Advanced Placement, 也就是大學內容提前考；通過的話，到了大學裏，這門課就不用學了。AP Calculus AB時長3小時，分為兩節：第一節105分鍾，Part A 60分鍾，30道選擇題，不準用計算器；Part B 45分鍾，15道選擇題，可用計算器。第二節90分鍾，Part A 30分鍾，2道自由作答題，可用計算器；Part B 60分鍾，4道自由作答題，不可用計算器。AP Calculus BC，時長與格式與AB一樣，隻是內容上增加了微分方程和無窮級數。考過BC的，也會有一個AB的分數。

從時間上來看，選擇題2或3分鍾一道；寫過程的題，15分鍾一道。計算器隻用於積分計算，當被積函數的原函數不是初等函數的時候，可以給出一個數值答案。計算器不會算極限，更不會列方程式；它不懂收斂性的判定，也不懂得微元法。即使是計算題，如果知道方法的話，手算更快一些。

選擇題自然都是些計算與判斷。計算的內容有：（1）函數和數列的極限、極值，（2）導數、變化率，（3）不定積分，（4）定積分與非正常積分及其幾何、物理應用，（5）無窮級數的和，（6）微分方程的解。判斷題有（1）極限存在性、收斂性，（2）連續性、可微性，（3）單調性、凹凸性，（4）函數的實零點、漸近線。寫過程的題目範圍有，（1）列方程、求變化率，（2）解微分方程、積分方程，或者一般的函數方程，（3）函數作圖（全過程），（4）零點（解）的存在性證明，

微分學最基本的、也是最難的概念和計算是極限；它的理論建立在一個基本公理上：單調有界序列必有極限。由此可以推出自然底數e的存在性；再由兩邊夾定理可以推出指數函數、對數函數的基本極限公式：當x→0時，（e^x – 1）/x，及 ln(x + 1)/x的極限都是1。還有sinx/x的極限也是1，如果x以幅度為單位。自此，16個基本初等函數的0/0型極限都可以算出。極限計算有加、減、乘、除四則運算法則。極限的ε-δ定義很難理解，中學裏的師生們一般不會去碰它，而是把這個頭痛留到大學裏去煎熬。

一個變量相對於另一個變量的瞬時變化率就是一個0/0型的極限，如果存在的話，又稱為導數或者微商。有四種情形，函數不可微（導數不存在）：函數不連續、左/右極限不相等、極限值為無窮大、函數周期性振蕩。連續指的是極限值等於函數值；初等函數（16個基本初等函數經過有限次的加、減、乘、除、複合運算所得）在其定義開區間上都是連續的。閉區間上的連續函數具有有界性、有最大/小值、有介值定理成立。

基本的導數公式有16個（常數、冪、指數、對數、6個三角函數、6個反三角函數），計算法則有五條（加、減、乘、除、鏈），再加三種特殊函數（隱函數、參數函數、分段函數）的導數計算方法，導數計算就齊活了。為了應用，還得需要5個中值定理：Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor展開公式；由此可以推出：單調性判定、極值原理、凹凸性判定、實零點定位、L’hopital法則等，可用於證明恒等式/不等式、解方程、求極限、最優化、近似計算、函數作圖，應用也全了。

總括極限計算的方法有：（1）L’hopital法則，（2）等價（高階）無窮小代換，（3）換元，（4）根式共扼，（5）單調有界定理，（6）四則運算法則，（7）兩邊夾定理，（8）Stolz定理（離散型的L’hopital法則），（9）歐拉求和公式（需要積分）。

積分學的最基本、也是最難的概念是微元。其實，微元的概念早於微商的概念而誕生。人們為了計算一些連續的、不規則的密度分布f(x)，先把它細分、累加（作黎曼和 sigma(f(xi)Δxi)，再取極限：讓每一個小塊縮成一點，自然就得到了準確值（記為s(f(x)dx: a ≤x≤b)。那個近似的黎曼和的極限的存在性，需要由函數的連續性、或者單調有界性來保證。在實變函數中，數學家們才弄明白，黎曼可積的充分必要條件是，函數的不連續點構成的集合，其Lebesgue測度為零。

按照和式的運算法則，可以推出黎曼積分的線性運算公式、分段計算公式，比較不等式，以及積分中值定理。

微積分基本定理揭示了積分值與反導數的關係：s(f(x)dx: a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)，其中，F(x)必須在閉區間[a, b]中連續，而且其導函數就是f(x)。此式又被稱為Newton-Leibniz公式，有多種不同的證明方法。其中一種是引入變限積分式g(x) = s(f(t)dt: a ≤ t ≤ x)，當f(t)為連續函數時，g(x)可微，而且它的導數就等於f(x)。另一種證明方法是，在黎曼和式中，根據Lagrange中值定理，取一個特殊的分點，由拆項法可以直接算出黎曼和的值。

一個函數f(x)的不定積分，指的是其所有反導數/原函數的全體，用記號s(f(x)dx)表示。根據Lagrange中值定理，這些原函數僅相差一個常數，故記為s(f(x)dx) = F(x) + C，C是積分常數。這裏的dx到底是什麽呢？自變量x的微小改變量，或稱微元；f(x)dx就是F(x)的微元dF(x)，或者說f(x)是微商：dF(x)/dx。一個直觀的理解就是，把求導數的Leibniz記號看成兩個式子相除，如果不想卷入微分的嚴格定義的話。

積分的運算法則就是把導數的運算法則倒過來寫。比如，du + dv = d(u + v)，udv + vdu = d(uv)，udv – vdu = u^2d(v/u), f’(u)du = df(u)，其中的u, v是任意表達式。等式兩邊同時積分時，當積分號s碰到微分號d時，互相抵消即可：s(d(u)) = u + C，d(s(u)) = u。積分與微分，就是一對互逆的運算。由此可以導出兩種積分方法，一是分部積分法，s(udv) = uv + C – s(vdu)；需要vdu比udv更簡單，至少不能更麻煩。二是換元積分法，在積分s(f(x)dx)中，可以設x = g(t)，直接代入得s(f(g(t))g’(t)dt)，然後對變量t進行積分；這其實就是鏈式求導法則的翻版。如何選擇函數g呢？隻有一個目的，就是要簡化被積函數f(x)。

一些特定類型函數的積分，需要特殊的技巧。有理函數，必須得先分解為部分分式；平方根式，可以用三角函數代換、或者歐拉代換去掉根式；三角有理式，可以用半角代換化為有理函數。遇到對數、反三角函數時，一般把它直接代換出來。冪指函數，不論求導或積分，都是取對數加底數：f(x)^g(x) = e^(g(x)lnf(x))。分段函數的微積分，需要分段計算，然後統一積分常數，使其連續。

需要明白一點的是：絕大多數函數的原函數，不是初等函數！也就是說，不能用那16個基本初等函數，經過有限次的五種運算，表示出來；除非用到無窮級數。當然，這種問題多半不會考的。在一些定積分中，如果被積函數具有某種對稱性，比如奇偶性、周期性，那麽，經過某種代換，即使原函數非初等，定積分的準確值，也是可以計算出來的。

在定積分的幾何、物理應用中，弧長、麵積、體積、表麵積，功能、流量、靜力矩、重心、轉動慣量、行程等等，公式太多，不同的形狀有不同的表達式，死記公式是不現實的。唯一的辦法是掌握微元法：分小塊，算近似值f(x)dx，做積分s(f(x)dx: a ≤ x ≤ b)。原函數算不出的，再用計算器。

在無窮級數sigma(a(n): n = 1,2, …, ) 中，需要做三件事情：收斂性判定、級數求和、函數表示為冪級數（或三角級數）。級數收斂的必要條件是，一般項a(n)當n趨於無窮大時為無窮小。充分必要條件有Cauchy準則（未學ε-N語言者不會用），正項級數則用單調有界公理。充分條件有十幾種，包括正項級數的部分和有界、比較判別法、極限形式的比較判別法、比值法、根值法、積分判別法，交錯級數的Dirichlet判別法，一般級數的Dirichlet判別法、以及Abel判別法，絕對收斂必定收斂。籠統來說，就是要|a(n)|充分小，級數才能收斂。可以與1/n比較：更高階的無窮小，或者與(1/n)^p，（p>1）同階者，必定絕對收斂；與1/[n(ln^q(n))]同階者，需要q>1才收斂。如果無窮小的階比幾何級數r^n (|r| < 1)更高，甚至是比1/n!更高，那是無條件收斂的。一句話，隻要掌握了Taylor近似展開式，分部求和公式，以及歐拉求和公式，級數的收斂性一眼便可看出！

級數求和的方法少得可憐。除了（1）加項是R(n)*r^n的級數之外（R(n)為n的有理式，可包含n! 在分母中 ），（2）可拆項的級數，即a(n) = b(n) – b(n+1)者，其它收斂級數的和都不是初等函數；能夠用歐拉求和公式表示為收斂的廣義積分，已堪稱完美。條件收斂的級數，可以交換各項的位置，讓它收斂於任何一個數，也可以讓它發散到正無窮大或者負無窮大。

把一個初等函數展開為冪級數，可以套用Taylor公式，但最快的辦法，還是先把它寫為部分分式、冪函數、指數式、正/餘弦函數的線性組合。如果會用複數的歐拉公式的話，三角函數都可省。冪積數的乘法，按冪次累加即可；除法與普通的長除法無異，如果會用待定係數法去找遞推公式，則已完善。冪級數在其收斂區間上，可以逐項求導和積分。

把一個周期函數展開為正/餘弦級數（Fourier），隻要使用待定係數法，記住三角函數的正交性即可。其收斂性由Dirichlet定理確定。Fourier級數可以逐項積分，即使它是發散的。到了實變函數中才知道，Fourier級數隻不過是L^2函數空間的一個子類。

在一階常微分方程部分，解的存在性由歐拉方法演示。在方向場中，按指定的步長前進，形成一係列的折線；當步長趨於零時，折線就變成了一條連續的曲線。初值問題的唯一性，可由李亞普羅夫條件保證。解法上，隻有兩種類型，變量分離方程和線性方程，積分曲線可以用積分式表出。對於y’=f(x)g(y)者，寫為dy/g(y) = f(x)dx後，兩邊同時積分即可；對於線性方程，y’ +p(x)y = q(x)，通常采用積分因子法求解：兩邊同時乘以一個待定函數I(x)，使得左邊可以配成一個導函數 (Iy)’，I所滿足的，是一個變量分離型方程；然後兩邊同時對x積分即可。

其它類型的一階方程，如Bernoulli方程，齊次方程，全微分方程，參數方程等，其解法是特定的，但沒有必要逐個去記。隻要一邊湊微分，一邊換元，變到變量分離或者線性，就可解出。當然，並非任何一個方程的積分曲線都可以用積分表出。

在微分方程的應用中，如果問題給出了顯式方程，如電路方程，力學運動方程，化學反應速率，隻需直接求解。但是，一些幾何切線問題、麵積問題，化學混合問題，液流問題，等等，需要自己先列方程。切線斜率就是導數，曲線的曲率表示的是切線的變化率，有公式可套：|y”|/[(1 + (y’)^2)]^(3/2)；麵積也有積分式可表，按要求寫出等式即可。現實中的運動、流量問題，列方程的唯一依據就是流體連續、物質守恒。純粹實驗性的結果，是不會出現在數學考試當中的。

以上內容不少，除了一般方法，還有一些技巧，但隻要適當練習，完全可以熟練掌握。內容得靠記，方法靠理解，這樣才能快速答題。要在AP中得滿分，也不是每道題都答對，可以錯個三、五題；何況那些些寫過程的問題，全憑閱卷者一時的心態。寫得工整點，思路清晰點，完全可以得滿分！