什麽是高級的數學？

近日在網上聽到這麽一句話，大意是，高等數學就是微積分和線性代數的衍生，據說是哈佛大學的著名數學家邱成桐說的；本人不敢苟同，就上網搜索了一翻。原來這是中科院林群院士（不知道哪個所的？）引述的一句話：“要學好微積分和線性代數，歸根結底一切高級的數學都是微積分和線性代數的各種變化。”邱的原話如何，網上查不到。如果是為了鼓勵大一學生學好這兩門數學課程，倒也無可厚非；如果單看後半句，也未免把龐大的數學說得太不堪了。林院士教你學數學，說要掌握微積分的精髓，一個案例就夠了，他舉了瞬時速度的一個例子；這也太過膚淺了。

我們說，數學認識有三個階段，一是從正數到負數，二是從數值到變量，這在初中階段就完成了。第三是從靜態變量到極限，而極限有三種，微積分中隻有點（序列）極限和體極限（微元），微積分的精髓是微元，極限隻是一個過程。在拓撲學中，還有網極限；它並不能微元化，也不能線性代數化。隻有在有限維向量空間上，才能發展豐富的分析學。

線性代數研究的是有限維空間上的線性結構。所謂向量的線性運算，就是加法和數量乘法，滿足八條公理；而任何數學對象，如數（包括組合的數如張量）、形（幾何體）、關係、集合，都可以被稱作為向量，無需方向，無需大小，隻要能夠定義這兩種運算。至於方向，人的常識是用相對於某一起始邊的角度去表示；在高維實空間裏，可以通過內積（滿足三條公裏）去定義角度；在複數空間裏，角度的概念都沒有了，隻有正交的概念。有了內積，也就有了大小的概念；但是，大小也可以用“範數”（滿足三條公理）去定義。當範數滿足“平行四邊形恒等式”時，它也可以導出內積；也就是說，內積空間比賦範空間更加特殊化。

這還沒有觸及分析學所必需的概念—距離。人對距離的認識，並非隻有微積分裏的歐氏距離；一般的距離是一個二元實函數，滿足正定性、對稱性、三角不等式等三條公理。在線性空間中，有了範數，自然可以定義距離，反之亦然。但是，在沒有線性結構的空間裏，有距離也得不出範數，更不用說內積。在一致空間中，距離都沒有，隻有滿足某種“分離性”的偽距離。在愛因斯坦的相對時空中，距離並不滿足上述任何一條公理；這又如何來套上微積分和線性代數？

高等數學並不隻是大學裏學的那十幾門課程，是相對於中學裏所學的初等代數、歐式幾何、實函數之外的所有數學學科。目前已知的有六大類：（1）基礎數學，包括集合論，邏輯，範疇論；（2）代數學，包括線性代數，抽象代數，數論；（3）幾何學，包括歐幾裏德幾何，解析幾何，微分幾何，代數幾何，非歐幾何，拓撲學；（4）分析學，包括數學分析（微積分是一種簡化的版本），實變函數論，複變函數論，泛函分析，微分方程，張量分析；（5）離散數學，包括組合數學，圖論，運籌學，概率統計，擾動分析；（6）應用數學，包括數值分析，物理，天文地理，經濟心理，生化計算機，等等一切量化科學。

為什麽會有這麽多的數學學科？因為可以量化的東西太多，而且隻有量化，才能精確描述現象；還有，人提出的問題永無止境，而數學家們又不能解決掉提出問題的人（政治家們可以？）。作為有人性的科學，人們隻能從結構上來分析問題。從數學的角度來說，物體（對象）之間的結構可以歸結為三種最基本的關係：位置的（幾何的、拓撲的），順序的（先後、大小），結合的（代數的，運算的，操作的）；其它都是這些關係的組合。數學家們的工作，就是找出控製這些關係的定律或者公理，以為後人提供經驗；不是彎道超車的那種，而是實打實的人類知識。