偏微分方程的來源與解法

現實世界中的任何一個量Q通常依賴於許多其它變量，如位置（x, y, z），時刻t，以及其它環境變量r；當這些變量的值發生改變時，Q的值也會發生改變。關於某個特定變量的變化率，就稱為Q對此變量的“偏導數”。偏導函數還有偏導數，即高階偏導數；也許當階數達到一定值時，高階偏導會為零，也就是說，不再依賴於該變量。如果過了可數無窮階（到了連續基數），偏導數還不為零，那麽，Q對該變量的依賴性就存疑了。

這些偏導數之間、偏導數與原函數Q之間可能存在某種關係式；含有一個多元函數Q及其至少一個偏導數的方程叫做偏微分方程。怎麽推導出一個關係呢？在物理中，通常采用量的守恒定律：在一個空間區域R內，量Q在一段時間內的改變量，等於通過邊界（delR）的淨流出量，加上區域內新增的量（源/漏）。源/漏與現有量Q的某個冪部分相關；而流量與流速成正比，流速的變化率與外力成正比（牛頓第二定律）。在化學中，還要考慮外其它物質可能引起的化學反應，從而導致物質的損耗。在電場中，要考慮電磁感應；在量子理論中，要考慮不確定性—概率。寫出來的等式，都是二階偏微分方程。

一個方程中出現的最高偏導數的階數，叫做該偏微分方程的階數。當階數為N時，依賴於N個任意常數的解叫做通解；這還不是所有的解：包含N個任意函數的解，再加上奇解，才是所有的解。在物理/化學方程式中，通常要加上初始值條件或者邊值條件；一般情況下，邊值問題的解是存在且唯一的。宏觀經濟學中的Cobb-Douglas方程，就是一個一階線性偏微分方程的解。

一階偏微分方程的解法有變量代換法、特征線（麵）法。如果能通過變量代換化為隻含有一個偏導數的方程，對那個變量積分即可；尤其是當偏導數為零時，表示函數與該變量無關。所謂特征線（麵），是指沿著這些線（或麵），所求函數為常量，因此所求函數就由這些常量確定。對於一階線性方程，可以依據特征線法，構造輔助方程，求出首次積分後，可用任意函數構成通解（通積分）。也可以采用積分因子法：乘以一個待定函數，湊成全微分；由此可以推出Phaff方程的可解條件。進一步，對於隱式的一階方程，可以導出拉格朗日-夏比方法（Charpit）。

二階常係數的線性偏微分方程，可以作變量代換，將其化為標準型，即沒有混合二階偏導的形式。這些變量代換所代表的曲麵（線）稱為特征。對於兩個變量的情況，其特征方程為二次方程，可以按照二階偏導部分的判別式分為雙曲型（D>0)、拋物型（D=0)、橢圓型（D<0)。

對雙曲型方程（波動方程屬於此類），可以用以個線性變換化為隻有一個混合二階偏導的形式（第二標準型）；如果是二階混合偏導等於零的方程，通解就是兩個分離變量的函數之和。在第一標準形式下，可以按微分算子的形式因式分解化為一階線性微分方程，從而得到達朗貝爾公式。二維和三維的波動方程，分別有泊鬆公式和克契霍夫公式。另一個解法是變量分離法。通過解的迭加原理（線性方程都滿足），可以構造傅裏葉級數形式的解。

波動方程需要給定初值條件（時間等於零時）和邊值條件（對於半有界和有界的情形）。邊值條件有三類：對函數值給定的、對一階偏導數給定的、函數值與偏導值的線性組合。半有界的情況可以作奇偶延拓，有界情形用傅裏葉方法求解。邊值條件也可以用解的迭加原理分解成隻有一個非齊次條件的諸解之和。

拋物型方程（熱傳導方程屬於此類），滿足柱體內的極值原理（最大/小值隻能在T=0或柱體的邊界上達到）；其解通常是通過變量分離用傅裏葉方法構造。在有限時間內的柯西問題的解，可以用泊鬆積分表出。

橢圓型方程（拉普拉斯方程屬於此類），齊次方程的解稱為調和函數。此種函數具有很多奇妙的性質，如平均值定理、極值原理、有界即為常數、流量定理等。三類邊值問題的解都是唯一存在的。對於平麵上的拉普拉斯方程，可以通過極坐標變換，應用分離變量法，得到傅裏葉級數形式的通解。迪裏克萊（第一類邊值）問題的解，可以由格林函數的積分表出。

更高階的偏微分方程呢？線性常係數時，可以用傅裏葉變換或拉普拉斯變換求解。更一般的，隻能用有限差分法來求近似的數值解了。這當然需要計算機才能完成；但我們可以在理論上確定其收斂條件，並給出誤差估計。數學家們隨意杜撰出來的偏微分方程還好說，畢竟還有一個確定的表達式；那些無法量化的現象，如神靈，數學就無能為力了。