數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
流體包括氣流、液流和熱流；它的表麵還是宏觀的：可見、可觸摸、可稱量。但要從深層次了解流體的基本性質，隻能進入到分子和原子的層麵。當今物理學已經到了量子層麵，卻偏偏在宏觀與量子之間留下了一個空襠：材料力學隻憑眼見耳聞，卻沒有加入思想。
我們先來闡述一下所謂的理想氣體。化學家們把它定義為：（1）氣體分子是一個個的質點，有質量，沒有體積；（2）氣體分子之間的空隙很大，它們之間沒有相互作用力；（3）氣體分子之間發生彈性碰撞；（4）氣體分子在連續隨機運動。據此，幾個物理學家，Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell,等人按照動量守恒原則，推出了壓強與分子平均速度的平方成正比。
要從宏觀上描述一罐氣體的狀態，需要明確（1）分子個數N，（2）體積V，（3）壓強P，（4）溫度T。很明顯，如果P和T固定，則V與N成正比（Avogadro’s Law）；如果T和N固定，則V與P成反比（Boyle’s Law）；如果P和N固定，則V與T成正比（Charles’s Law）；如果N和V固定，則P與T成正比（Gay-Lussac’s Law）。由此，經過簡單的數學計算，便可得出所謂的理想氣體定律：PV/（NT）= 常數k(Boltzman常數)。但是，Gay-Lussac忘記了，T與P隻是部分相關：T = aP + b；在絕對零度時，任何氣體的分子之間都失去了壓力。如果考慮分子間的作用力，那麽，氣體的體積也是與分子數部分相關的：V = mN + c。這才有了實際氣體的Van der Waals方程；比例係數a,b,m,c需要通過實驗確定。
為了宏觀描述一個容器裏的液體，人們采用的量有（1）地球表麵的大氣壓Pa，（2）地球表麵的重力加速度g，（3）液體內部的壓強P，（4）液體密度k，（5）液層離地麵的高度h。實驗表明，壓強P隻與液層在容器內的深度d有關，與容器的形狀無關。由平衡狀態方程，就可以推出Pascal定律：在一個密閉的容器內（液體不可壓縮），任何一處壓強的改變都會均勻地擴散到容器內的各處深度，包括容器壁：delta(P) = kg delta(d)。據此，人們設計了液壓閥，可以用很小的力去舉起一個很重的物體。
靜態的液體還滿足阿基米德定律（Archimedes’’ Law）：任何全部或部分沉浸於一種流體中的物體，都受到一個浮力的作用，其大小等於所排開的流體的重量。根據吃水深度的不同，相同體積的物體必定成分不同，阿基米德就可以分辯那皇冠到底是純金的，還是摻有其它金屬。怪不得他從澡盆裏跳出來，赤裸著在大街上高喊：Eureka!（我發現了！）
在一根管子裏流動的液體，我們還要引進它通過每一截麵A的流速v。假設液體是不可壓縮的、管子裏也沒有漏洞或新源；那麽流動就是連續的：Av = 常數。另一方麵，考慮一小截流體，質量m = kV，V是體積。它在時刻t1位於管中某處：截麵積A1、厚度delta(s1) 、高度h1、壓強P1、流速v1；體積V = A1delta(s1) 。在另一時刻t2，它到了另一處：截麵積A2、厚度delta(s2) 、高度h2、壓強P2、流速v2. 在流動過程中，管子裏有一種保守力對此小截做功，大小為delta(W) = F1•delta(s1) + F2 • delta(s2) = P1A1*delta(s1) – P2A2*delta(s2)（F1與位移方向相同，F2與位移方向相反）= (P1 – P2)V。按照功能原理，保守力所作的功，等於機械能的改變量：delta(mv^2/2 + mgh) = kV(v2^2/2 – v1^2/2 + gh2 – gh1)。除以V，就得到Bernoulli方程：P + kv^2/2 + kgh = 常數。
此方程隻是理想狀態下的描述。如果考慮液體與管壁的摩擦力（黏附力）、液體分子之間的相互作用力，方程要複雜得多、甚至能不能寫出這種都成問題。難怪有人說，液體的流動方程，尚不為人類所知。即使是在靜態的液體中，單個分子的運動都是隨機的（布郎運動），何況在流體中，盡管液體的溫度、也就是所有分子的平均動能是固定的。
溫度是一個基本物理量，與組成分子或原子的平均動能有關。在理想氣體中，溫度T與分子的平均動能成正比：T = mv^2/3k，m 是一個分子的質量，v是所有分子速度的均方根。一罐氣體也具有熱容：溫度升高一度所需熱量是多少？這與變化過程有關：（1）等容過程：體積保持不變，讓1摩爾（mole）的分子升高1K（Kelvin）所需要的熱量計為CV；（2）等壓過程：壓強保持不變，讓1摩爾（mole）的分子升高1K（Kelvin）所需要的熱量計為CP。對理想氣體而言，恒有關係式：CP – CV = R。
什麽又是熱量？人們最早以為是一種叫作Caloric、不可見的物質，它可以從一個物體轉移到另一個物體，而且是不生不滅的。在18世紀末，Benjamin Thompson在監工大炮製造時才發現，Caloric並不守恒，並且建議，它也不是一種物質，隻是一種運動形式。同一時期，James Joule等人的實驗表明，在一些過程中，熱量可以得失；得/失的熱量可以由等量的機械能來計算。如果想把1磅的水的溫度升高1個華氏度，需要772磅的重物下落1英尺所作的功。現在，我們把1克水、從14.5攝氏度升高到15.5攝氏度所需要的熱量稱為1calorie，於是有，1 calorie = 4.186 Joules。
溫度的改變並不是熱量傳播的唯一表現。當物體改變狀態時，也會吸收、或者釋放熱量。從固體變成液體，每公斤的物質所需要的熱量Lf，是可以通過熱平衡方程解出來的：加入一定量的高溫液體（溫度、質量已知），達到熱平衡時，固體所吸收的熱量，等於液體所釋放的熱量。把液體變成氣體的熱量Le，可以注入熱氣，類似地算出。把氣體變成等離子體，則需要放電，可以通過電能算出。
熱力學第一定律說，一個孤立的、絕熱係統，內能的改變量，等於它所吸收的熱量，加上外界對它所作的功。這其實就實能量守恒定律。但是，在實際的熱過程中，並沒有真正孤立、絕熱的係統，總會有損失的能量；熱力學第二定律說，永動機是不可能的；或者說，熵(entropy)總在增加。我們有著名的方程：S = klogW = -kNsigma(pi*logpi)，pi是概率。
熱的傳播方式有三種主要形式：傳導，通過物體與物體的接觸進行。單位時間內，熱量沿著某個方向通過某個截麵的流量，與截麵積成正比，與垂直距離成反比，與溫差成負比。這就是（Fourier）熱傳導定律。第二是對流，通過一個被加熱的物體的運動來實現；寫不出定量的方程式。第三是輻射，也就是電磁波的輻射。按照Planck對黑體光子數的估計，可以推出Stefan的輻射定律。更進一步，可以推出光子的運動方程。
流體的擴散（diffusion）是一個十分複雜的過程。數學上，要引進量密度的概念：單位體積內、某點X、時刻t的現存量Q（X，t），一個小區域delta(V)裏的量就是delta(Q) = Q(x,t)delta(V)。還有通量F （flux）的概念：單位時間內，通過單位曲麵麵積、沿曲麵法線方向的流量F(X, t) （小曲麵包含時空點X,t）；量源S(X,t)：單位時間內，經過單位曲麵麵積、所新生（或消耗）的量。按照量守恒原則，在任一空間區域R內，量Q的時間變化率，等於源量S，減去流過區域邊界的流量。把曲麵積分通過散度定理化為三重積分，就可以得到流體變化的偏微分方程。解之可得量Q在任一時刻的分布規律。
