數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
在我剛到加拿大時，翻看了安省的數學教學大綱及其說明；其中一句話讓我百思不得其解：Geometry must go! 幾何必須滾蛋？在他們把中學13年製改為12年製（始於2002年，我移民的第一年）時，把13年級的《幾何》與《微積分》合並成了《Calculus and Vectors》塞到了12年級（也不知道把函數合並到11年級），讓學生們從11年級進入到12年級時，幾乎就像從小學升入大學那般困難！而整個的幾何內容，到九年級時才學了球和圓錐的體積與表麵積，常見幾何圖形的基本性質那是根本不提！全等與相似的概念到了十年級才開講，十一年級根本就沒有幾何；到了十二年級就隻教點向量的概念和運算、而且是在微積分之後，你讓學生怎麽去學好數學—關於數字與形狀的學問？
有人說，這是政府故意而為：就是讓學生們上不了大學、即使上了大學也畢不了業。為啥？要你早早去打工，給老人們養老掙錢。我認為是教學大綱的製定者都沒有大學畢業，不清楚整個數學的結構，更不知道最高端的數學是什麽，甚至可能連什麽是《數學》都不知道。我曾經寫博文說，在加拿大搞創新就是一個笑話；結果有網友回複說，加拿大不是製造了國際太空站上的機械臂嗎？可以肯定的是，那個機械臂的設計者肯定是在校外學了別的幾何知識。
近日有學生要去參加EGMO（European Girl’s Mathematics Olympiads]的選拔賽，發現那一日三題之中必有一道平麵幾何證明題（另外兩道多為函數與組合數學）；這可咋辦？從小學到高中都沒有被教過幾何證明題。幾何證明通常有三種辦法：一是從已有歐氏幾何定理推導，可誰記得那麽多的定理？還要巧作輔助線才行。二是坐標化。我記得中國數學家吳文俊，搞出了幾何定理的機器證明，基本出發點就是坐標化，據說還要使用拓撲學的知識；可惜，我們並沒有見到適用的應用程序。如果一個個點設未知數去列方程的話，還不知道何年何月才能解完。第三種方法是使用向量。它介於純粹推理與坐標化之間；既不需要作輔助線，也不需要解大量的方程。缺陷是，對於曲邊形很麻煩。
有不有三全其美的辦法呢？有。在二維空間裏使用複數，在三維時空中使用四元數。對於平麵上的任何曲線，一個單參數的複數表示就夠了。兩點間的距離是兩個複數之差的模；一個點繞另一個點的旋轉，隻要乘以一個指數函數；以一點為中心的伸縮，隻要乘以一個適當的倍數。兩條曲線的交點，通過解方程就可求出（用模與幅角，不必涉及到坐標）。切線、弧長、麵積，可以通過導數和積分求出。這真正做到了代數化，能有一個軟件自動計算就好了。
四元數從它被Hamilton發明之始，曾經在英國受到大力追捧。由於其乘法運算的不可交換性，開方運算的無窮性，帶來許多不便，後來又被向量取代了。現在隻有計算機專業的人士還知道一點，數學家們都拋棄它了。但是，用數來表示形確實是方便的；我們就沒有其它種類的數了嗎？點集拓撲學中沒有分析，微分幾何中沒有計量；難道就不能在高維空間裏，用一個數來代替一個向量？讓它的某些運算可以表出大小的計量？
在內積空間中，我們可以定義長度、正交的概念；在複空間裏還是無法定義角度。向量乘向量等於向量的運算，至今沒有定義（在三維以上的空間）；其實這是可以做到的。把角度複數化就可以了，再加上正交投影為最短距離的公理。在有限維空間裏的分析學便可以建立起來；無限維的空間呢，現實中不存在，隻不過是數學家們的想像罷了，不要計量分析也罷！
強烈建議這麽有激情，數學水平那麽高的博主，降低身段做一件對廣大華人有意義的事情。
探索一下，怎麽在北美提高數學競賽水平，這是家長特別關心，實際上也是功德無量的事情。