數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
Collatz猜想，是德國漢堡大學一個名叫Lothar Collatz的大學生在1937年提出的問題。說的是一個遞推數列，從一個初始正整數a出發，如果是偶數就除以2，如果是奇數就乘以3再加1；那麽最後總會落入4，2，1的循環。
問題闡述如此簡單，小學生都明白。我經常把它作循環數列的例子講給小學生聽；沒有想到，其證明卻很難。許多大數學家對此都束手無策。有人甚至用分布式計算機去驗算，算到了2的70次方，結論都是對的。我看呢，大家都是走錯了方向。
就把上述運算稱作一個C運算吧：C（n）= n/2，若n為偶數；C(n) = 3n + 1，若n為奇數。顯然，當初始值a為2的冪時，結論成立。下麵對區間I(k) = [2^k, 2^(k+1)）用歸納法證明。K = 0時顯然。假設當初始值a在區間I（k）中時，結論成立；我們隻要證明，區間I(k+1) 中的任何數b, 經過若幹次C運算，結果必定落在I（k）或更小的I（j）上。
當b為偶數時，一次C運算就落在了I(k)中；對於奇數b, 把它寫為二進製（2的冪次之和），在逐步驗算之後，便可知結論成立。我隻是驗算了幾個數，結果都對。
直接計算也是可行的。為此我搞出了一個混合（2, 3）進位製的表數法，為了乘3及除2計算的方便。我們知道有6進製，係數在0到5之間；把6的冪拆為2的冪與3的冪之積，任何一個正整數都可唯一表示為形如a(i，j)2^i 3^j 的一些數之和，其中，係數a(i,j)取值0或1，指數i與j之差小於或等於1，或者i = j+ 2. 有此便可直接證明了。
另外一個有趣的等價提法是，考慮C的逆運算；即從任何一個正整數出發，如果它是6m + 4的形式，就減1再除以3，否則都乘以2. 最後結果有兩種：如果是從1，2，或4開始，那就落入循環；其它都是一個等比數列：(3^k)(2^n)，n = 1, 2, 3, …。這也可以用混合（2，3）進位製來驗算。
這類問題還可以作推廣。搞出個（a, b）混合進位製的表數法，遠比解決一個具體問題有意義得多。計算機的驗證，純粹是無聊人的遊戲。
