找規律解遊戲題

這種方法的解答過程如下:

設定兩個集合: W = {N|開始者對於N有必勝的策略}, L = {N|開始者對於N必輸}. 這裏有一個假定: 兩個人都使出對自己最有利的招數. 從N = 1開始, 依次把N的值分別歸於W或L, 找出一般規律. 關鍵的一步是要從小於N的一些值推出N的歸屬.

以下是四道可用此法求解的遊戲題. 有興趣者不妨一試.

                                            

(1) 在一個碗裏有一些石子. A, B, C三人輪流從其中取一個或兩個石子: 由A開始, 然後B取, 再由C取; 取得最後一個石子的人為輸. B和C二人合作, 逼使A為輸者. (i) 如果碗裏有5個石子, B和C如何才能逼使A輸? (ii) 一般地, 如果碗裏有N個石子, 對哪些N的值, A才能贏?

 

(2) (i) 兩個人A和B在玩一副7張的牌. A先開始, 他從那堆牌中扔掉至少一張至多不超過全堆一半的牌, 再把剩下的牌給B; B也從所接到的牌中, 扔掉至少一張至多不超過手上一半的牌; 之後再把剩下的牌傳回給A. 如此繼續下去. 當一個人隻接到一張牌時, 此人就是輸家. 請證明B必勝. (ii) 如果剛開始時有52張牌, 請問誰必勝?

 

(3) 兩個人A和B在玩取火柴棍遊戲: 從一堆N根火柴棍中, 每人可以拿1根, 3根,或4根火柴; A 開始, B跟著, 以後二人輪流拿; 拿到最後一根火柴的為贏. 請問, B對哪些N的值有必勝的策略?

 

（4）兩個人輪流從三個籃子裏拿蘋果。蘋果個數分別為2、3、4；每人隻能從同一個籃子裏取，可以取一個到全部。（a）如果取得最後一個蘋果的人為贏家，誰有必贏的策略，先下手的還是跟隨者？（b）如果如果取得最後一個蘋果的人為輸家，誰有必贏的策略？策略如何？