數學的本質

數學究竟是什麽？人們為什麽要學那麽年的數學？數學家們到底在研究什麽？數學的終極目標又是什麽？

從人類文明史來看，數學始於計量、土地測量。你打到了幾隻獵物，得有個準確的描述；你租用了地主家幾畝地，地主心裏得有個數，依此去收租。到了近代社會，發展出了科技，講究的就是一個精準。現在呢，大數據時代，一切都數字化了。

對許多人來說，數學就是做數字加、減、乘、除的。這說對了一半，數學的研究對象還有形狀；當然，形狀也是可以用數值來表示的。另一方麵，數學是現實世界的抽象，它的本質就是把對象之間的相互關係抽象出來。通俗地說，關係就是對象們分分合合的規則。我們還得控製那些規則，這就有了公設。在基本公設下進行演繹，不致於推出自相矛盾的悖論。比如，歐氏幾何就是基於五條公設，來控製形狀的變化規則。

目前的數學，在大的方向上，可以分為算術、代數、幾何、分析、拓撲、離散數學。小的分支則有六十多個；或者說，有六十多種數學結構或體係。每一個體係都有三個組成部分：一是研究的對象，比如各種數字、形式；二是對象之間的相互關係，它們如何組合、變化。最基本的關係有三類：順序關係、代數（運算）關係、拓撲（幾何）關係；其它關係都是這三種的組合。第三是幾條基本公理，或者說，該體係的出發點。

例如，數理邏輯的研究對象是命題；命題之間的組合關係有三種：非、或、與。非是否定詞“不”，或就是兩句話的合並，或者兩個集合的並集；與則是“且”，是兩個集合的交集、公共部分。當然還有其它的連結詞，比如“因為。。。所以”, ”除非“，但是都可以用三個基本連結詞表出。基本公理有七、八條，比如，雙重否定等於肯定，De Morgan定律等。

物理學的結構何償不是如此呢？它的研究對象是自然物體；各物體之間的關係就是它們如何運動、變形。牛頓力學的公設是牛頓第二定律、庫克定律；相對論的基本公設就是等價性原則、光速不變原則；電磁學的基本公理是庫倫定律、Biot-Sarvart定律。量子理論的標準模型尚無公設，所以眾說紛紜，莫衷一是。（我寫出來的兩條公理，那些家們又不承認。）

正如物理學家們追求一個大一統的理論一樣，大數學家Hilbert也問到，有不有一個公理體係，涵蓋所有數學結構，而又不推出自相矛盾的結論呢？也就是至少能夠自圓其說。Godel的兩條不完備性定理擊碎了這一夢想。正如Haisenberg的不確定性原理一樣，這個世界的不確定因素太多，世界萬象很難有一個統一的表述。

在數學中，數字決不僅僅是0、1、2、3. 人們能夠構想出來的“數“，其實是不可計數的，很難有一個式子，可以包羅萬像。數學的終極目標，就是一個收斂性問題，或者說，不可數和式有不有一個收斂的、可數的、最好是有限的表達式。物理學家們可不糾結於這一點，連續和式隨手寫來，管它收斂不收斂！波函數、Feymann積分都是例證。我把和式用集合表示，各變元經過換序、重組、換元，收斂性依目標式子的不同，可以一點點地實現。這就是我對幾個猜想的證明思路。

對大眾來說，學習數學可不是什麽思維訓練。一門數學其實就是一所學校的一門生意，數學競賽更像是一個遊戲。你付費來參與，其實是政府為了增加流動性。不學某門課程當然行，可是有時候你就進不了某一行業的門檻；客戶也會說，你沒有資格做這個。數學、科學家們幹的都是苦差事，為的是，也許後人會用得著。