Epsilon逼近

最近，一個大學一年級的新生問起了函數極限的定義，滿臉的困惑不解。這讓我想起了我們當年的情形：一個小小的ε，竟把所有人折磨得夠嗆；一個室友還因此休學了一年。我跑去問高年級的老鄉，他卻說，和尚念經，念它個千百遍，一切都了然於心。任課教授也正是這麽做的：每次講課前，總是把那定義寫在黑板的左上角，念叨數遍；一個月下來，囫圇吞棗，也算是初步理解了。

這個定義是這樣子的：

對於任意給定的正數ε，無論它多麽小，總存在一個正數δ，可能與ε有關，使得當自變量x 與a 的距離小於δ時，因變量y 與L 的距離就小於ε。補充一點：x 可以不等於a。

這本來是數學家們為了刻劃兩個點之間的靠近程度而引進的代數化語言，在普通人眼裏就成了怪獸了。糟糕的是，中學老師們對微積分大多數都是一知半解，講不明道不清，學生們哪能不雲裏霧裏呢？更怪異的是，美國人把ε叫challenge，把δ叫response, 這不是把新生往糊裏推嗎？

世界中的量都是相互關聯的。為了表示當一個量如x, 變化時，另一個量如y，怎麽變化，我們用到的工具是距離，更狹隘地說，在微積分中，僅僅是歐幾裏德距離，也就是那個從勾股定理推導出來的距離。等到了泛函分析，還有任意定義的距離；到了拓撲學中，還有偽距離。在一維歐氏空間中，也就是在一條直線上，距離就是兩數之差的絕對值。

為了表示變量y 與某個常量L的靠近程度，我們設定一個目標ε，也就是讓|y – L|小於ε；因為y 依賴於自變量x，不等式 |y – L| < ε 的解當然要用x 的某個變化範圍來表示。你可以叫做x的響應，但實際上是x變化在先：x 在靠近a. 所以解答如是：|x – a| < δ. L 的值是事先給定的；至於怎麽求出那是另一回事；定義本身隻是一個驗證而已。

舉個例子。要驗證 lim (x-->1) x^2 = 1，隻要解不等式：|x^2 – 1| < ε, 也就是 1 – ε < x^2 < 1 + ε。為了三邊開平方根，可設ε < 1；於是 sqrt(1 - ε) < x < sqrt(1 + ε)。如果ε > 1，左邊的式子換成0即可。x 跟1得有多靠近呢？三邊減1可得：sqrt(1 - ε) - 1 < x - 1 < sqrt(1 + ε) - 1，這隻要

|x – 1| < min( |sqrt(1 - ε) -1|, |sqrt(1 + ε) - 1|) 即可。把這個式子叫作δ，證明完畢。

提醒一點，美國人的根式取正和負兩個值。可到了二次方程的求根公式中，他們在判別式的根式前還是加上正負號，簡直是自打臉；可到了立方根時，又隻取一個實根，完全不管另兩個虛根。再一件奇怪的事，他們的無窮大記號∞，僅僅表示正無窮大，沒有正負合體的；負無窮大的表示，要在前麵加負號。

我們怎麽表示對無窮大的逼近呢？ 如果是正無窮大，用“變量 > M”, M 是一個任意指定的正數；如果是負無窮大，用 “變量 < − M”, M 是一個任意指定的正數；如果是雙向的無窮大，用 “變量的絕對值 > M”, M 是一個任意指定的正數。

舉個例子。驗證 lim(x -->0)x^(-2) = +∞，先設定目標 x^(-2) > M，M為任意正數；解之可得：x^2 < 1/M，或者 |x| < 1/sqrt(M) =: δ。證畢。

同學們明白了嗎？不然我再舉幾個例子？我們加拿大人隻知道例子例子例子，你要問一個一般概念，那是半天都答不上來的。可例子無窮多啊，怎麽舉得完？這也就是為什麽加拿大人低效的原因；任何小小的工程都是以年為單位計算工期的。隻有中華民族善於抓住一般抽象的概念，抓住本質和方法，所以他們都是學霸。

再囉嗦幾句。ε逼近在微分中隻是個開始；在積分中，得用微元去逼近。到了微分方程中，Euler用ε逼近去證明解的存在性。到了一般的距離空間中，用的是鄰域逼近。到了一般拓撲空間中，僅僅隻有偽距離，我們就要用網去逼近了。

[歐洲聯盟]

今天想試試能不能貼上數學公式，失敗了。