說說張益唐和潘承洞

說說張益唐和潘承洞

引言

最近一個時期，張益唐成了一個熱門的話題。張益唐是一個著名的數學家，他最近回國，並且發表了一篇講話，說了些回國的理由。於是在網上引起了熱烈的爭論。拍手叫好的人有之，冷嘲熱諷的人有之。對於這些，筆者並不想做過多的評論。個人選擇而已，理由種種，不值得過分深究。有些人說，過去有些大佬回國了，文化革命怎麽樣？雖然可以這樣比較，不過此一時彼一時，這樣的可能性今後會不會有？看樣子不大會。至少目前看來是這樣。至於中美的科研環境，怎樣比較？這裏就發生在筆者身上的一件事比較一下。

張益唐和潘承洞，都是數論方麵的專家，都有很大的成就，張益唐在北大的導師介紹潘承洞的弟弟潘承彪。潘承洞有一個學生裘卓明。裘卓明不大有人知道。不過他的哥哥裘光明當年還是有點名氣的，他是科普數學的作家，出版了不少科普數學的書，當年在學生中有一定的影響。

下麵就說說裘卓明的事。

筆者的科研

1977年是振奮人心的一年，科研之風吹遍了神州。筆者作為一個66屆的高中畢業生也深受鼓舞。於是，拿起了大部頭的<數論導引>就啃。書倒沒有啃掉多少，啃掉的也就是閔嗣鶴先生的<初等數論>。不過倒是啃出一點味道來了。書中提到了下麵的問題:

“已知 n²-n+17 當 0£n£16 時皆為素數。又 n²-n+41 當 0£n£40 時皆為素數。輓近，Beeger算出:

 n²-n+72491 當 0£n£11000 時皆為素數。此建立一極有趣味之問題。任給一數 N，可否求出一數 p，  當 0£n£N 時，使 n²-n+ p 常表素數。”

於是化了一點力氣，得到了下麵結果:

 n²-n+ p 如果當 0£n£ 時常表素數，則當 0£n<p 時常表素數。

譬如，p=72491，則約為156，也就是說n²-n+ 72491當n£156時常表素數就能推出當n£72490時常表素數。

當時確實是很興奮的。這就是說，我把Beeger的結果提高了一步，證明了n²-n+ 72491 當n£72490時常表素數。當然還有其他一些結果。

當時，可以說是躊躇滿誌，一篇稿子，投給了<數學學報>。

緊接著就是恢複高考。筆者有幸，考入了上海師範大學，當年叫上海師範學院。入學後把論文交給了我的代數老師沈明剛，結論是結果正確，證明完整。但是<數學學報>沒有回應。

其後代數組有老師要去山東開會。說是你的論文也沒有一個結果，就乘此機會托潘承洞老師看看。對我來說，當然是求之不得。然而，也沒有什麽回音。

當時<上海師院學報>複刊，於是投給了校刊。畢業後留校工作。得到的消息是，將在第一期刊登，這心裏便又高興了。

其後，又得到消息，說是不用了。為什麽不用呢?這原因真叫人哭笑不得。當時學報的編委有各係的老師，包括數學係，物理係。我們數學係的老師提出，物理係的一篇稿子不怎麽樣，就不要用了。學報為了搞平衡，就從數學係也抽掉一篇。而這抽掉的，便是我的論文。

記得當時在校園裏，碰到我係的係主任龔倫超先生。當時好像已經退休了。我便把此事告訴了他。龔先生一直對我關愛有加，當時問我:"要不要我去跟學報打聲招呼?"我當時回答:"不用了。如果我這一輩子就寫這一篇論文，則我今天無論如何求你去說一聲。可人生的路長著呢。今後的學問還得做下去。一篇論文算不了什麽。就不用說了。"時至今日，對當時的豪情壯語猶感自豪。

也不知龔先生有沒有去講話，反正是第二期上還是登出來了。

其後，又遇到了兩件事。<數學學報>把四年前的稿子退還過我。退稿理由你是絕對想不到的，既不說對，也不說錯，而是:"當時的審稿者已經離開，故將原稿退回。"不過，我當然並不在乎。

係裏的老師張一鳴轉交給我一封信，因為裏麵提到了我。他說:"信你就保存著吧。我也沒用。"於是此信便留在我處了。信是山東大學裘卓明先生寫的。全文如下:

一鳴先生:您好！

我是裘卓明，是您的學生 (60年師院數學係畢業)。

82年年初邵品琮先生出國前，給我轉來許紹吉的文章。很抱歉，拖了一年，最近才有空抽看了一下。文章的主要結論是對的，證明亦未發現大問題。隻是文章的結果與二年前我審閱過的劉逢綏同誌(江西南昌五金進出口公司)的一文基本相同(該文好像在一份較低雜誌發表)但可以看出，許的一文是獨立作的。不過這樣意義就不大了。故隻好將稿件寄回。

我目前仍在潘承洞先生手下搞數論，隻是身體極端不佳，可工作還較重，所以一直窮於應付。有點小小的工作也應歸功於潘先生的指導了。同時師院老師給我打下的數學基礎也是重要的。不多寫了。

您的學生裘卓明

信中說“將稿件寄回”是不確的，在給張一鳴老師的信中把我的稿件寄回，顯然並不合理。事實上，信中沒有夾稿件，他也從來沒給我寫過信，何論“將稿件寄回”?這當然不是什麽要緊事，我也不會在意。連這封信我都不在意，因為我的文章已經發表了。不過借此知道還有別人也在做此工作，也得到相同結果。我想法與江西的劉先生聯係上了。劉先生的文章於82年發表於<江西大學學報>，可說是同時。劉先生路過上海，曾來我處探望，我留他吃了一頓飯，可說是相談甚歡。

我還曾留意到湖北鄖陽師專的老師鄭格於，在他們學院印刷的小冊子《數論簡明教程》中，也給出了這一結果及其證明。算起來，應該說有三人在同一年得到這一結果，也算是科壇趣事吧。

裘卓明出場了

84年時，一位老師告訴我，<科學通報>上有一篇文章和我結果類似。我當然感興趣，一查，果然相似，再一看，作者也似曾相識，正是裘卓明。這下，諸位可以想象我的感覺了。

 

於是我給<科學通報>寫了一封信。信很短，就說了三點:

 

一。兩文結果類似；

二。裘文在我的文章發表後兩年發表；

三。裘先生看過我的文章，有信為證。

 

<科學通報>把我的信轉給裘先生。裘先生給<科學通報>寫了回信，<科學通報>又把信轉給了我，算是對我的答複吧。讀者在看了上麵所說之後，肯定感到好奇:裘先生能怎麽解釋呢?真是不看不知道，想也想不到。裘先生的信一共有兩封。全文如下:

 

科學通報編輯部:

 

關於我在您刊發表的"關於多項式表素數"一文，現作如下說明。

 

1。早在61年我就對華羅庚教授在"數論導引"中所提的，其中包括"多項式表素數"等問題發生興趣，直至79年就得到了文中定理1、2、3等結果，並在1981年3月的山大校慶科學報告會上報告了摘要。當時曲阜師範學院的邵品琮教授也正好在場。承洞先生是因中間有事出去了。而在一年以後(即82年春)邵品琮先生才轉給我上海師院許紹吉的文章。這些重要事實請編輯部向邵先生作進一步調查核實。

 

2。我文中的主要結果之一，即定理2是直接從定理1得到的，而與此相應的許的命題3則是用不同的方法(從其命題1、2)得到的。其證明繁素，但主要結果相同，並與

江西劉逢綏的結果相近。這在曆史上也是屢見不鮮的，因為XX問題的性質以及都參考了相同的文獻，所以所用的數學工具以及方法本身並不有實質上的差異，所以結果和方法自然類似。

 

3。我文中的定理4與許文中的命題6也不完全一樣。而且許文中命題4和命題6都有嚴重錯誤。我特地查閱，我對許文的審查記錄如下:

"p,p+2,p+6,...中連續p_i個數中必有能為p_i整除者"。此結論不對。因為  p=p+p_i(p_i-1)(mod p_i)，故 p,p+2,p+6,...p+p_i(p_i-1)這p_i個數不能構成模p_i的完全剩餘係，故命題4的證明自然不能成立。(但可用他法證得，在此從略)。

 

命題6則是從尚未證明的命題4得到的，故也不能成立。

 

許文中尚有其他很多筆誤，但並不影響結果，在此從略。

 

4。從我與許二文看，結果與方法並不盡相同，有相同處，但也是獨立得到。但我文中的定理4等方麵還是受到許文的影響，而且二文各有長短處，故我曾考慮與許合作聯名全文發表，但經與上海師院我的老同學(也是許的老師)那裏了解到許的一些情況以後。我就決定單獨發表我自己的那一部分，但當時我並不知道"許文"已在上海師院82年第二期摘要發表。XX單獨發表，這樣在處理上，方法上確是欠妥，並且也給編輯部帶來不少麻煩，在此深表歉意。我的看法妥否清指正。此致

敬禮

 

山東大學數學係 裘卓明 1985。2月

 

科學通報編輯部:

 

潘承洞先生看了我給貴刊寫的"說明"，提出幾個問題，今作以下補充說明。(關於"多項式表素數"一文)

 

1。因我係無上海師院學報，故到現在，我才從承洞先生那裏得知，許紹吉一文摘要(未證明)已在上海師院學報(82年)發表。但被我審閱的原文(82年春邵品琮先生轉交給我)，他的四個主要結果中的二個，即命題4、6是錯誤的。

 

2。由於我文中定理1、2、3早在七九前後得到，方法又不同，定理4又與許文中相應命題6不同，所以我自己單獨發表自己這部分結果當然是可以的(雖然在某些方麵受到許文的一些影響)。但我確曾考慮過與許聯名發表的問題，但從上海師院那裏了解到與許"不宜合作"以及其他關於他個人的一些情況(略)後。我才單獨發表的。但這樣確給編輯部帶來不少麻煩，在此再次表示歉意並望指正。此致

敬禮

 

山東大學數學係 裘卓明 1985。2。12

 

文中的"略"是原文，有四個字看不清，用X代之。裘先生的信確實很有趣，他告訴科學通報編輯部什麽呢?

 

第一，他的結果是獨立得到的。其實，我從來沒有說過裘先生抄襲或剽竊，因為我沒有證據說裘先生就沒有得到這些結果。在<上海師院學報>上，注明是1980年10月刊日收到初稿，81年5月13日收到改寫稿。<科學通報>上沒有注明收到裘稿的日期。不過，歸結起來，發生這麽幾件事:裘先生收到了我的稿件(裘說是82年)，裘先生看了我的稿子(裘說是83年)。然後通過我係的一位老師告訴我"這樣意義就不大了。"信上郵戳是1983。1。13。然後，裘先生自己去投稿了。算算時間，84年發表，正好。當然我也沒有證據說裘一定是看過我的稿件後才投的稿。從他給<科學通報>的兩封信來看，好像也承認是受了我文的影響，然後去投的。而且若順序倒過來而裘先生不在給科學通報編輯部信中提及的話，這實在是不可思議了。裘先生很有趣，79年得到結果，但是他不去投稿，81年作過報告，他也不去投稿，而83年還要去受影響，然後想起投稿。這邏輯，怎麽看也不順眼。

 

第二，他沒有錯。"所以我自己單獨發表自己這部分結果當然是可以的"。審閱了別人的文章，告訴別人"不過這樣意義就不大了。"然後再自己去發表，這是"可以"的麽?

 

第三，我的文章很糟糕。"證明繁素"，"許文中尚有其他很多筆誤"，(這個也值得拿來說事，實在是很可憐。)"他的四個主要結果中的二個，即命題4、6是錯誤的。"這下問題嚴重了。就不說"文章的主要結論是對的，證明亦未發現大問題。"了吧。這會太令人難堪。這邏輯就很奇怪。"故命題4的證明自然不能成立。(但可用他法證得，在此從略)。"既然"可用他法證得"，那就說明結論是正確的，為什麽又說是錯誤呢?"命題6則是從尚未證明的命題4得到的，故也不能成立。"一個是可用他法證得的命題，一個是尚未證明的命題，一個是錯誤的命題，我實在很難想象，它們是一回事。

 

第四，當然，最為惡劣的是"但從上海師院那裏了解到與許"不宜合作"以及其他關於他個人的一些情況(略)後。我才單獨發表的。"仿佛整個事件的發生因我個人情況而起，因我不宜合作而致，故而責任全在我。裘先生在這裏用了一個三段論:聯名發表就沒事了，他曾考慮過聯名發表，之所以沒有聯名發表，是因為我"不宜合作"以及其他關於我個人的一些情況，最終的結論，責任不在他，而是在我。

 

我很懷疑裘先生學術能力，但是我絕不懷疑裘先生的顛倒黑白的能力。一個"略"字就足以把原告和被告的位置互換，一個"個人情況"就可以把別人對我的同情變成懷疑，一個"不宜合作"就可以把自己的責任撇個幹淨。說許"不宜合作"當然就反證了裘的"宜於合作"，說許有"個人情況"當然就證明了裘沒有"個人情況"。而且還是從"上海師院我的老同學(也是許的老師)那裏了解到"的，這證明是何等的有力。如果條件許可的話，裘先生絕對可以對我開上一場批判會，而且聲淚俱下，從而充分證明他是多麽的無辜。完全可以懷疑，裘先生已經在他的潘老師麵前開過這樣的批判會。能夠給出這種證明的，絕對是個天才。

 

第五，聯名發表，這也不是一個人的事，也要雙方同意。我倒是從來沒有考慮過裘先生是"宜於合作"或"不宜合作"，當然更沒有考慮過裘先生的個人情況，因為沒有必要。他看我的稿子是83年，而他看的時候我的稿子已經在一年前發表了，我有必要聯名發表麽?從裘先生的角度來說，不管我是"宜於合作"或"不宜合作"，如果裘先生當時問我，我當然會告訴他，我的文章已經發表了。這樣也就免了裘先生"我不知道"的借口。至於裘先生是不是把這作為好事，願意不願意知道，我就不知道了。

 

隨即，我給科學通報編輯部和潘承洞先生各寫了一封信，講述了我上麵的意見，進行了斥責、駁斥，也沒有收到回音。

他們有著共同的祖先

 

下麵，說說這一常表素數問題的來曆。在我的雜記中，紀錄著:

 

【在華羅庚先生所著<數論導引>57年版，89頁有“輓近。。。”

 

在75年再版時刪去這一句話。】

 

而這一"刪去"就讓我琢磨了好長時間，因為當時我還不知道Beeger的結果本身是錯的。我不知道為什麽這一句話要刪去。雜記中記錄著當時和老師的對話(78年9月):

 

"這個問題現在的結果怎麽樣了呢?為什麽再版中不提這一數字了呢?"

"寫封信給王元，問問他這方麵的結果怎樣。"

我是多麽想知道這方麵的結果啊，但我隻是吞吞吐吐地說:

"個人寫信恐怕不容易得到回應罷。是否能由學校出麵。"

 

在劉先生的文中提及:

 

【一九八0年八月<數學通報>上，在<談哥德巴赫問題>一文中，邵品琮先生再次引用了Beager在一九三九年提供的數據。當n=0，1，2。。。11000時，式子

n²-n+72491 的值皆表素數。

 

上數據有誤。事實上可以算出:72491=71X1021

5²-5+72491=59X1229

6²-6+72491=47X1543】

 

【這一錯誤的數據還引用在華羅庚先生的兩本著作中:<數學歸納法>P7，1964年版。<堆壘素數論>，P204-205】

 

劉文中提到Beager，其實應為Beeger。但不知是劉先生搞錯，還是邵先生出錯。

 

72491 並非素數，在給校刊投稿的時候當然已經知道了。記憶中當時曾提到華先生的引文。校報編輯部當時說，既然後來刪去了，就說明華先生已經知道了，就不要再提了。有一點為尊者緯的意思吧。這也是中國人的老習慣了。其實，曆史上大數學家結論、證明出錯的事多的是，誰也沒有因此而損失什麽麵子。唯有中國人就需要考慮到麵子。看到的是，來時聲勢浩大，三本箸作中均有提到，去時了無聲息，就這麽拿掉就算了。而結果呢，就是邵品蹤先生到八0年還不知道，還在引用。

 

這一問題，其實是素論裏的一個著名問題。它被稱之為Euler幸運數(Lucky Number of Euler)。它的定義是:一個數 p能使n²-n+ p當 p=1，2，。。。， p-1時常表素數。最初，數學大家Euler於1772年觀察到了41有這樣的性質。

 

沈明剛先生在《科學通報》上發表《n2-n＋p常表素數的完全確定》，確定了n2-n＋p常表素數即當且僅當p＝2，3，5，11，17，41。
沈先生的文章發表於1988年。文章注明1986年收到來稿。可惜的是晚了五年。1983年法國人le Lionnais證明了Euler幸運數隻有2, 3, 5, 11, 17, and 41 。這，被視為數論界的一個重大結果。?

 

世界上相像的孩子很多，可一模一樣的孩子不常見

下麵，從數學的角度說說幾個人的結果，稍微專業一點，不過並不很難，隻要一點中學的數學就夠了。大家就作為中學趣味數學題來看吧。

 

劉先生的文章給出一個定理：

 

定理 若式子

g(n)=n²-n+p (p為任意自然數)

當n=1,2,...n₀=[(-5+)/6]+2

時皆為素數，則有當n=0,1,2,...p-1時 g(n)皆為素數

(當p=72491時， n₀=156)

 

比較一下我們三個人的結果。都可以表達成下麵形式。

 

令

則存在正整數當 的時候都是素數可以推出當 的時候都是素數。

這裏的在我們三個人的結論中有不同的表示形式。顯然這個越小越好。劉先生給出的

 

鄭先生給出的

我給出的

 

可見我們的結果是多麽的接近。

我的文章除了和劉逢綏、鄭格於相似的這一結果外，還給出了其他一些結果。一共有六個命題，命題3對應著劉逢綏和鄭格於的結果。

 

(g(x)=x²-x),f(x)=x²-x+p)

引1。對任一給定p_i，當n>p_i時，令n=K p_i+n₁(0<n₁<p)，則g(n)ºg(n₁) (mod p_i).

引2。當(p_i+1)/2<n<p_i時，令n=p_i+1-n₁(0<n₁<(p_i+1)/2)，則g(n)ºg(n_1) (mod p_i).

命題1。若f(n)º0 (mod p_i) 有解，則必有1<n₀<(p_i+1)/2，使f(n₀º0 (mod p_i).

逆否命題:若f(n)º0 (mod p_i) 當1<n<(p_i +1)/2時無解，則恒無解。

命題2。若n²-n+p當n<N時 常表素數，則f(n)º0(mod p_i)對任意p_i<min(2N,p)無解。

命題3。令p_j為不大於2的最大素數，則下列陳述等價:

1。f(n)當n<p時常表素數。

2。f(n)º0(mod p_i)對p_i<p無解。

3。f(n)當n<(p_j+1)/2時常表素數。

4。f(n)º0(mod p_i)對p_i<p_j無解。

 

命題4。若n²-n+p當n<p時 常表素數，則4p-1為素數。

命題5。n²-n+p當n<p時 常表素數，當且僅當4n²+4p-1當p£(p-3)/2時常表素數。

命題6。n²-n+p當n<p時 常表素數當且僅當p為4p-1之最小素平方剩餘。

 

舉例來說，67的平方剩餘如下:

1,4,6,9,10,14,15,16,17,19,21,22,23,24,25,26,29,33,35,36,37,39,40,47,49,54,55,

56,59,60,62,64,65

 

其中，17是67的最小素平方剩餘。可以驗算，41是163的最小素平方剩餘。

裘卓明的文章全文

 

定理1。設為奇素數，Q(n)=n²-n+p。

則   Q(n)º0 (mod p)

有解的充分與必要條件是

p=0,-2,...,-r(r-1),...,-(q²-1)/4 (mod q),

且有解時，對應於pº-r(r-1) (mod q)，其解為

n=r(mod q),  r=1,2,...,(q+1)/2

定理2。設p_l為小於2的最大素數，若1<n<(p_l+1)/2時,Q(n)均表素數，則當

1<n<p-1

時，q(n)亦均表素數。

定理3。設Q(n)當1<n<p-1時均表素數，則當

1<n<(p-3)時，4(n²+p)-1亦均為素數。

定理4。設4p-1為素數，則當1<n<p-1時,Q(n) 均為素數的充分與必要條件是p必為4p-1的二次剩餘中的最小素數。

 

要看出裘文和許文的區別或者相同，其實連高中數學都不需要，隻要識幾個字就足夠了。

結語

可以看到，裘卓明所做的，不單是剽竊，先讓你不要投稿，給你設個局，然後再進行剽竊，在事情敗露之後，還要倒打一耙，反咬一口。其惡劣的程度，不僅是數學界、科學界，即使是剽竊界也是很少看到的。隻是天不作美，筆者的文章已經發表了。

這樣，就來到我們的結論了。這樣的事情在美國會發生麽？在世界的除了中國以外的地方會發生麽？如果在美國發生了，會產生怎樣的結果？

顯然，潘承洞先生是知道這件事的。在知道了這件事以後，據裘卓明所說，“提出幾個問題”。對如此惡劣的行徑，這就夠了麽？對於筆者給潘承洞的信，沒有回應。實際上是不能秉公處理這一事件，有偏袒自己學生的嫌疑，有損自己的名望。

你兒子在外麵殺人越貨，被抓了個現行，受害者告上門了，你不理不睬，這是一個學者應有的態度麽？

最後，是給張益唐先生說的。希望張益唐先生不會有機會碰到裘卓明這樣的敗類學生。在中國這樣的地方，這樣的機會要比其他地方多得多。如果不幸，碰到了這樣的學生，也希望張益唐老師能夠秉公處理，自己的聲譽要緊，不要走潘承洞的老路。

後續

上麵說了，對於這一結果，有三個人在同一年發現，雖然結果不大，也是一件趣事。而到了2009年，這一結果再次被發現，發現的也是中國人，是不是更有趣？

2008年10月，丘成桐中學數學獎第一屆頒獎儀式舉行。金獎由溫州中學的三名學子獲得。他們的論文題目是：

A Research on the Minimum Prime Quadratic Residue Modulo a Prime

關於素數的最小素平方剩餘的研究

文章一共有三個定理，其中的第二個定理如下：

(x)= x²-x+m

Theorem 2 For , there exists an integer k with , such that  is a composite number.

定理2 對於，存在一個整數k 滿足 ，使得是一個合數。

比較有趣的是，在定理2的下麵有這樣一段文字：

We discovered it by ourselves. However, we found that the key step of our proof appeared in Problem 6 in the 28th IMP Contests.

 

中文：我們是自己發現這個結果的。但是，我們證明中的關鍵步驟在第28屆奧林匹克數學競賽第六題中已經有了。

 

參考文獻

1。許紹吉，關於n2-n＋p常表素數的探討，上海師範學院學報(自然科學版)，1982，2:35-36

2。劉逢綏，n2-n＋p中素數分布的探討，江西大學學報(自然科學版)，6(1982)，17-18。

3。裘卓明，多項式表素數問題，科學通報，29(1984)，23：1470。

4。Shen Minggang, Complete determination for n2-n＋p to be a prime, Kexue Tongbao, 33(1988),13:1957-1958.

 

5. 丘成桐主編，第一屆丘成桐中學數學獎獲獎論文集，高等教育出版社，2009年9月

 

 

57年版的《數論導引》

 

 

 

 

 

 

75年版的《數論導引》

 

 

本人82年發表的文章

 

 

 

 

劉逢綏先生82年發表的文章

 

 

 

 

裘卓明先生84年發表的文章

 

 

裘卓明先生給我係老師的信

 

 

裘卓明先生給科學通報編輯部的信

 

 

 

 

 

 

鄭格於先生82年出版的書

 

鄭格於先生的結果

《第一屆丘成桐中學數學獎獲獎論文集》摘錄